2022-2023学年辽宁省锦州市辽西育明高级中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每一个小题只有一项是正确的）

• 1．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₆，a₈是方程x²-6x+5=0的两根，则S₁₃=（　　）

  A．39

  B．52

  C．45

  D．72
  组卷：109引用：3难度：0.7

  解析

• 2．从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名男生和1名女生的选法共有（　　）

  A．16种

  B．20种

  C．24种

  D．36种
  组卷：135引用：4难度：0.7

  解析

• 3．曲线

  y

  =

  x

  在点x=4处的切线方程为（　　）

  A．x-2y=0

  B．x-4y+4=0

  C．2x-y-6=0

  D．x-4y+12=0
  组卷：32引用：2难度：0.7

  解析

• 4．3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠时间X～N（8，1），则该校每天平均睡眠时间为6～7小时的学生人数约为（　　）（结果四舍五入保留整数）
  附：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9973．

  A．64

  B．408

  C．472

  D．815
  组卷：87引用：4难度：0.8

  解析

• 5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2，设b_n=lo

  g

  3

  2

  a_n，则

  1

  b

  2

  b

  3

  +

  1

  b

  3

  b

  4

  +⋯+

  1

  b

  2022

  b

  2023

  =（　　）

  A． 2021 2022

  B． 2023 2022

  C． 2022 2023

  D． 2024 2023
  组卷：162引用：4难度：0.5

  解析

• 6．“锦里开芳宴，兰缸艳早年．”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（　　）

  A． 72 625

  B． 108 625

  C． 144 625

  D． 216 625
  组卷：139引用：4难度：0.7

  解析

• 7．∀x₁，x₂∈[1，e]，当x₁＜x₂时，都有

  ln

  x

  1

  x

  2

  ＜

  a

  （

  x

  1

  -

  x

  2

  ）

  ，则实数a的最大值为（　　）

  A． 1 e 2

  B． 1 e

  C． e e

  D．1
  组卷：334引用：7难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知数列{a_n}的首项a₁=

  4

  5

  ，a_n+1=

  4

  a

  n

  3

  a

  n

  +

  1

  ，n∈N^*．
  （1）设b_n=

  1

  a

  n

  -1，求数列{b_n}的通项公式；
  （2）是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列，且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
  组卷：160引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  焦距等于

  2

  3

  ，且经过点

  （

  3

  ，

  1

  2

  ）

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为

  1

  20

  ，试问直线PQ是否过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
  组卷：70引用：2难度：0.2

  解析