2023-2024学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

• 1．已知集合A={x|x＜2}，B={1，2}，则A∪B=（　　）

  A．（-∞，2）

  B．（-∞，2]

  C．{1）

  D．{1，2}
  组卷：288引用：5难度：0.9

  解析

• 2．若复数z满足

  z

  •

  i

  =

  2

  1

  +

  i

  ，则z=（　　）

  A．-1-i

  B．-1+i

  C．1-i

  D．1+i
  组卷：248引用：1难度：0.5

  解析

• 3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

  A．y=lnx

  B．y=x3

  C．y=|tanx|

  D．y=2|x|
  组卷：74引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  a

  =（2，1），

  a

  -

  b

  =（-1，2），则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A．-5

  B．0

  C．5

  D．7
  组卷：290引用：5难度：0.8

  解析

• 5．设等差数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S₅=15，则a₂•a₄ 的最大值为（　　）

  A． 9 4

  B．3

  C．9

  D．36
  组卷：575引用：7难度：0.8

  解析

• 6．设a=log₄6，b=log₂3，

  c

  =

  3

  2

  ，则（　　）

  A．a＞b＞c

  B．c＞b＞a

  C．b＞a＞c

  D．b＞c＞a
  组卷：456引用：6难度：0.5

  解析

• 7．“sinθ+tanθ＞0”是“θ为第一或第三象限角”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：319引用：5难度：0.8

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  x

  2

  +

  b

  ，且

  f

  （

  1

  ）

  =

  1

  4

  ，

  f

  （

  4

  ）

  =

  2

  19

  ．
  （Ⅰ）求a,b的值；
  （Ⅱ）求f（x）的单调区间；
  （Ⅲ）设实数m满足：存在k∈R，使直线y=kx+m是曲线y=f（x）的切线，且kx+m≥f（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求m的最大值．
  组卷：155引用：2难度：0.4

  解析

• 21．设无穷数列 {a_n} 的前n项和为 S_n，{i_n}为单调递增的无穷正整数数列，记 A_n=

  S

  i

  n

  +

  1

  -

  S

  i

  n

  （n=1，2，…），定义Ω={j∈N^*|S_k-S_j≥0，k=j+1，j+2，…}．
  （Ⅰ）若a_n=n,i_n=n²（n=1，2，⋯），写出A₁，A₂ 的值；
  （Ⅱ）若

  a

  n

  =

  （

  -

  1

  2

  ）

  n

  -

  1

  （n=1，2，⋯），求Ω；
  （Ⅲ）设sgm（x）=

  1 ， x ＞ 0

  0 ， x = 0

  - 1 ， x ＜ 0

  ，求证：对任意的无穷数列{a_n}，存在数列{i_n}，使得{sgn（A_n）} 为常数列．
  组卷：103引用：4难度：0.2

  解析