2022年上海市徐汇区南模中学高考数学模拟试卷（3月份）

一、填空题

• 1．若a∈{-1，3，a³}，则实数a的取值集合为

  ．
  组卷：704引用：2难度：0.8

  解析

• 2．函数f（x）=x²-6|x|+8的单调减区间是

  ．
  组卷：259引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-2，则数列{a_n}的通项公式为

  ．
  组卷：141引用：2难度：0.8

  解析

• 4．函数y=sinx,x∈[

  3

  π

  4

  ，

  3

  π

  2

  ]的反函数为

  ．
  组卷：32引用：1难度：0.8

  解析

• 5．若满足

  ∠

  ABC

  =

  π

  4

  ，AC=6，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是

  ．
  组卷：119引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知函数f（x）=

  （ 4 - a ） x - 10 ， x ≤ 7

  a x - 6 ， x ＞ 7

  ，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），若数列{a_n}单调递增，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：100引用：2难度：0.6

  解析

• 7．正项等比数列{a_n}满足：a₃+a₆-a₁-a₄=6，则a₅+a₈的最小值为

  ．
  组卷：172引用：2难度：0.6

  解析

三、解答题

• 20．已知函数g（x）的定义域是D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有g（x₁）≤g（x₂），则称函数g（x）在D上为不减函数．现有定义在[0，2]上的函数f（x）满足下述条件：
  ①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；
  ②对于x,y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
  试证明下列结论：
  （1）对于x,y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1；
  （2）（ⅰ）f（x）在[0，1]上为不减函数；
  （ⅱ）对n∈N^*，都有

  f

  （

  1

  3

  n

  ）

  ≤

  2

  3

  n

  +

  1

  ；
  （3）当x∈[1，2]时，有1≤f（x）≤13-6x.
  组卷：115引用：2难度：0.3

  解析

• 21．设自然数n≥3，若由n个不同的正整数a₁，a₂，…，a_n构成的集合S={a₁，a₂，…，a_n}满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
  （1）试分别判断在集合S₁={1，2，3，4}与S₂={1，2，4，8}是否具有性质P，不必说明理由；
  （2）已知集合S={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P．
  ①记

  k

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  =

  a

  1

  +

  a

  2

  +

  …

  +

  a

  k

  ，求证：对于任意正整数k≤n,都有

  k

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  ≥

  2

  k

  -

  1

  ；
  ②令

  d

  i

  =

  a

  i

  =

  2

  i

  -

  1

  ，

  D

  k

  =

  k

  ∑

  i

  =

  1

  d

  i

  ，求证：D_k≥0；
  （3）在（2）的条件下，求

  1

  a

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  的最大值．
  组卷：119引用：2难度：0.2

  解析