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2023-2024学年四川省成都市树德中学高二（上）段考数学试卷（10月份）

发布：2024/9/22 5:0:8

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知直线l的方向向量为
a
=
（
1
，
2
，-
2
）
，平面α的法向量为
n
=
（
2
，
4
，
m
）
，若l∥α，则m等于（　　）
A．5 B．2 C．
1
2
D．-4
组卷：200引用：5难度：0.8
解析
2．已知
a
=（2，3，1），
b
=（1，-2，-2），则
a
在
b
上的投影向量为（　　）
A．
2
b
B．
-
2
b
C．
2
3
b
D．
-
2
3
b
组卷：241引用：23难度：0.8
解析
3．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，则向量
OP
可表示为（　　）
A．
1
4
a
+
1
4
b
+
1
4
c
B．
1
2
a
+
1
3
b
+
1
4
c
C．
1
3
a
+
1
2
b
+
1
4
c
D．
1
3
a
+
1
4
b
+
1
4
c
组卷：215引用：8难度：0.8
解析
4．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AC
=
3
，
BC
=
3
，
AB
=
3
2
，
A
A
1
=
4
，则异面直线A₁C与BC₁所成角的余弦值为（　　）
A．
-
16
25
B．
9
25
C．
16
25
D．
4
5
组卷：275引用：15难度：0.5
解析
5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A₁在底面的射影是△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
3
组卷：63引用：3难度：0.7
解析
6．在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA=AC=2，AB=3．当BD与平面PAC所成角最大时，A到直线BD的距离为（　　）
A．
3
11
11
B．
2
C．
3
22
11
D．3
组卷：25引用：2难度：0.6
解析
7．如图，在四面体ABCD中，M是AD中点，P是BM中点．在线段AC上存在一点Q，使得PQ∥平面BCD，则
AQ
QC
的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
3
4
组卷：218引用：1难度：0.5
解析

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四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，D为AB的中点，D₁为A₁B₁的中点，平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，异面直线BC₁与AB₁互相垂直．
（1）求证：平面A₁DC∥平面BD₁C₁；
（2）若CC₁与平面ABB₁A₁的距离为x,A₁C=AB₁=6，三棱锥A₁-ACD的体积为y,试写出y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当CC₁与平面ABB₁A₁的距离为多少时，三棱锥A₁-ACD的体积取得最大值？并求出最大值．
组卷：470引用：4难度：0.3
解析
22．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△ABD沿BD翻折，使点A到点P处．E，F，G分别为BD，PD，BC的中点，且FG是PD与BC的公垂线．

（1）证明：三棱锥P-BCD为正四面体；
（2）若点M，N分别在PE，BC上，且MN为PE与BC的公垂线．
①求
PM
ME
的值；
②记四面体BEMN的内切球半径为r,证明：
1
2
r
＞
1
EM
+
1
BN
．
组卷：103引用：3难度：0.5
解析