2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知

  a

  =

  （

  -

  2

  ，

  0

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  0

  ，

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  c

  =

  （

  1

  ，-

  x

  ,

  2

  ）

  ．若

  （

  a

  +

  b

  ）

  ⊥

  c

  ，则x=（　　）

  A．-4

  B． 10 3

  C．-8

  D．4
  组卷：69引用：1难度：0.8

  解析

• 2．点P（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（　　）

  A． 2 2

  B． 3 2 2

  C． 3 2

  D． 9 2
  组卷：246引用：3难度：0.8

  解析

• 3．直线l经过点（-2，3），且倾斜角α=45°，则直线l的方程为（　　）

  A．x+y-1=0

  B．x-y+5=0

  C．x+y+1=0

  D．x-y-5=0
  组卷：347引用：3难度：0.8

  解析

• 4．若圆x²+y²=4与圆x²+y²-2mx+m²-1=0相外切，则实数m=（　　）

  A．-3

  B．3

  C．±3

  D．1
  组卷：157引用：3难度：0.5

  解析

• 5．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为

  n

  =

  （

  2

  ，-

  3

  ，

  1

  ）

  ，

  AB

  =

  （

  1

  ，

  0

  ，-

  2

  ）

  ，

  AC

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，则（　　）

  A．平面α∥平面ABC

  B．平面α⊥平面ABC

  C．平面α与平面ABC相交但不垂直

  D．以上均不可能
  组卷：107引用：1难度：0.9

  解析

• 6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

  2

  2

  ，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）

  A． x 2 8 + y 2 4 =1

  B． x 2 16 + y 2 4 =1

  C． x 2 8 + y 2 16 =1

  D． x 2 16 + y 2 8 =1
  组卷：1003引用：7难度：0.5

  解析

• 7．三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC=BC=2，PA=4，则直线PC和直线AB所成的角的余弦值为（　　）

  A． 1 2

  B． 1 3

  C． 10 10

  D． 3 10 10
  组卷：148引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共5个小题，共70分.

• 20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
  （Ⅰ）证明：若DM=2MP，则直线MN∥平面PAB；
  （Ⅱ）求平面PCD与平面PND夹角的余弦值；
  （Ⅲ）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为

  2

  6

  ？若存在，试求出

  PM

  PD

  值；若不存在，请说明理由．
  组卷：201引用：3难度：0.5

  解析

• 21．对于向量X₀=（a₀，b₀，c₀），若a₀，b₀，c₀三个实数互不相等，令向量X_i+1=（a_i+1，b_i+1，c_i+1），其中a_i+1=|a_i-b_i|，b_i+1=|b_i-c_i|，c_i+1=|c_i-a_i|，（i=0，1，2，…）．
  （Ⅰ）当X₀=（5，2，1）时，直接写出向量X₄，X₅，X₆，X₇；
  （Ⅱ）证明：对于∀i∈N，向量X_i中的三个实数a_i，b_i，c_i至多有一个为0；
  （Ⅲ）若a₀，b₀，c₀∈N，证明：∃t∈N，X_t=X_t+3．
  组卷：35引用：3难度：0.2

  解析