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2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（七）

发布：2024/7/6 8:0:9

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．设集合M={x|0＜x＜4}，N={x|
1
3
≤x≤5}，则（∁_RM）∩N=（　　）
A．
{
x
|
0
＜
x
≤
1
3
}
B．
{
x
|
1
3
≤
x
＜
4
}
C．{x|0＜x≤5} D．{x|4≤x≤5}
组卷：60引用：2难度：0.8
解析
2．已知复数z₁与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则
z
1
1
+
i
=（　　）
A．
-
1
-
i
2
B．
1
-
i
2
C．
-
5
-
i
2
D．
5
-
i
2
组卷：96引用：4难度：0.8
解析
3．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（　　）
A．
1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
组卷：28引用：2难度：0.7
解析
4．已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，
a
+
b
=（
3
，1），则
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为（　　）
A．60° B．120° C．45° D．135°
组卷：406引用：5难度：0.5
解析
5．设
a
=
ln
2
，

b
=
2
1
2
，

c
=
3
1
3
，则a,b,c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
组卷：105引用：3难度：0.7
解析
6．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
在区间
（
π
6
，
7
π
6
）
上单调，且对任意实数x均有
f
（
7
π
6
）
≤
f
（
x
）
≤
f
（
π
6
）
成立，则φ=（　　）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
4
D．
π
3
组卷：55引用：4难度：0.5
解析
7．设P是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为（　　）
A．
10
B．
10
2
C．
3
D．
2
组卷：1095引用：11难度：0.5
解析

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四、解答题（共6小题，满分70分）

21．定义：一般地，当λ＞0且λ≠1时，我们把方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
λ
（
a
＞
b
＞
0
）
表示的椭圆C_λ称为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的相似椭圆．
（1）如图，已知
F
1
（
-
3
，
0
）
，
F
2
（
3
，
0
）
，
M
为⊙O：x²+y²=4上的动点，延长F₁M至点N，使得|MN|=|MF₁|，F₁N的垂直平分线与F₂N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）在条件（1）下，已知椭圆C_λ是椭圆C的相似椭圆，M₁，N₁是椭圆C_λ的左、右顶点．点Q是C_λ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e²（e为曲线C的离心率）时，设直线QM₁与椭圆C交于点A，B，直线QN₁与椭圆C交于点D，E，求|AB|+|DE|的值．
组卷：60引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=e^kx-lnx,k∈R．
（1）已知k≥1，若x≥1时，f（x）≥t恒成立，求t的取值范围；
（2）当k=1时，求证：f（x）≥（1+a）+（1-a）lna.
组卷：31引用：2难度：0.5
解析

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2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（七）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．设集合M={x|0＜x＜4}，N={x|13≤x≤5}，则（∁RM）∩N=（ ）

2．已知复数z1与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则z11+i=（ ）

4．已知|a|=1，|b|=3，a+b=（3，1），则a+b与a-b的夹角为（ ）

5．设a=ln2， b=212， c=313，则a,b,c的大小关系为（ ）

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在区间（π6，7π6）上单调，且对任意实数x均有f（7π6）≤f（x）≤f（π6）成立，则φ=（ ）

7．设P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为（ ）

四、解答题（共6小题，满分70分）

22．已知函数f（x）=ekx-lnx,k∈R．（1）已知k≥1，若x≥1时，f（x）≥t恒成立，求t的取值范围；（2）当k=1时，求证：f（x）≥（1+a）+（1-a）lna.

1．设集合M={x|0＜x＜4}，N={x|
1
3
≤x≤5}，则（∁_RM）∩N=（　　）

2．已知复数z₁与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则
z
1
1
+
i
=（　　）

4．已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，
a
+
b
=（
3
，1），则
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为（　　）

5．设
a
=
ln
2
，

b
=
2
1
2
，

c
=
3
1
3
，则a,b,c的大小关系为（　　）

6．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
在区间
（
π
6
，
7
π
6
）
上单调，且对任意实数x均有
f
（
7
π
6
）
≤
f
（
x
）
≤
f
（
π
6
）
成立，则φ=（　　）

7．设P是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为（　　）

22．已知函数f（x）=e^kx-lnx,k∈R．
（1）已知k≥1，若x≥1时，f（x）≥t恒成立，求t的取值范围；
（2）当k=1时，求证：f（x）≥（1+a）+（1-a）lna.