2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高三（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）

• 1．已知集合A={x|0＜x＜3}，集合B={x|0＜log₂x＜1}，则A∩B=（　　）

  A．{x|1＜x＜3}

  B．{x|1＜x＜2}

  C．{x|2＜x＜3}

  D．{x|0＜x＜2}
  组卷：62引用：4难度：0.8

  解析

• 2．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，得到公式e^iθ=cosθ+isinθ，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式．可得

  |

  e

  π

  2

  i

  +

  1

  |

  =（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D． 5
  组卷：74引用：3难度：0.8

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  8

  x

  -

  1

  3

  x

  的一个零点所在的区间是（　　）

  A．（1，2）

  B．（2，3）

  C．（3，3.5）

  D．（3.5，4）
  组卷：309引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知m,n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，以下命题 ①若m∥α，m⊥β，则α⊥β； ②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β； ③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n； ④若m⊂α，m∥β，α∩β=n,则m∥n.其中正确的是（　　）

  A．①④

  B．①②④

  C．①②③

  D．②③④
  组卷：181引用：4难度：0.7

  解析

• 5．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  ln

  |

  x

  |

  x

  的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：414引用：14难度：0.8

  解析

• 6．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，

  CO

  =

  x

  CA

  +

  y

  CB

  ，且x+y=1．若函数f（m）=

  |

  CA

  -

  m

  CB

  |

  （m∈R）的最小值为

  3

  2

  ，则|

  CO

  |的最小值为（　　）

  A．1

  B． 3 4

  C． 1 2

  D． 2 2
  组卷：248引用：4难度：0.7

  解析

• 7．若a²+log₂a=3b²+3log₈b,则（　　）

  A． 1 2 b＜a＜b

  B．b＜a＜2b

  C．2b＜a＜3b

  D． 1 3 b＜a＜ 1 2 b
  组卷：141引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．设数列{a_n}满足a₁=0，

  4

  a

  n

  +

  1

  =

  4

  a

  n

  +

  2

  4

  a

  n

  +

  1

  +

  1

  令

  b

  n

  =

  4

  a

  n

  +

  1

  ．
  （1）试证明数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
  （2）是否存在常数c,使得数列

  {

  2

  b

  n

  +

  c

  •

  3

  n

  }

  是等比数列？请说明理由．
  （3）令

  T

  n

  =

  b

  1

  ×

  b

  3

  ×

  b

  5

  ×⋯

  b

  2

  n

  -

  1

  b

  2

  ×

  b

  4

  ×

  b

  6

  ×⋯

  b

  2

  n

  ，是否存在实数a,使得

  T

  n

  b

  n

  +

  1

  ＜

  2

  lo

  g

  2

  （

  a

  +

  1

  ）

  对一切n∈N₊都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
  组卷：136引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=nx-xⁿ，x∈R，其中n∈N^•，且n≥2．
  （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
  （Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x,都有f（x）≤g（x）；
  （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x₁，x₂，求证：|x₂-x₁|＜

  a

  1

  -

  n

  +2．
  组卷：5479引用：13难度：0.1

  解析