2023-2024学年湖北省武大附中高三（上）模拟数学试卷（A卷）（8月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．已知复数z=2-i,则|z²|=（　　）

  A． 41

  B．5

  C． 5

  D．25
  组卷：207引用：5难度：0.8

  解析

• 2．设集合A={x|log₃x＜1，x∈Z}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．8
  组卷：92引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知α，β∈（0，

  π

  2

  ），2tanα=

  sin

  2

  β

  sinβ

  +

  si

  n

  2

  β

  ，则tan（2α+β+

  π

  3

  ）=（　　）

  A． - 3

  B．- 3 3

  C． 3 3

  D． 3
  组卷：704引用：9难度：0.8

  解析

• 4．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数

  5

  -

  1

  2

  ，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．在△ABC中，点D为线段BC的黄金分割点（BD＞DC），AB=2，AC=3，∠BAC=60°，则

  AD

  •

  BC

  =（　　）

  A． 7 5 - 9 2

  B． 9 - 7 5 2

  C． 9 5 - 7 2

  D． 7 - 9 5 2
  组卷：171引用：7难度：0.5

  解析

• 5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（　　）

  A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x 1 ， x 2 和 s 2 1 ， s 2 2 ，且已知 x 1 = x 2 ，则总体方差 s 2 = 1 2 （ s 2 1 + s 2 2 ）

  B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

  C．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≥-1）+P（X≥5）=1，则μ=2

  D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m,40，50；乙组：24，n,33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=67
  组卷：474引用：3难度：0.5

  解析

• 6．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面α∥PQ，平面α截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（　　）

  A． 2 3 3

  B． 13 3

  C． 3

  D．2
  组卷：194引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知alna=1，

  m

  =

  e

  1

  2

  +

  a

  ，eⁿ=3^a，a^p=2^e，则（　　）

  A．n＜p＜m

  B．p＜n＜m

  C．n＜m＜p

  D．m＜p＜n
  组卷：201引用：5难度：0.5

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  2

  ，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切．
  （1）求C的方程；
  （2）直线l：y=k（x-1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S₁.△BPQ的面积为S₂，若|AP|•S₂=|BP|•S₁，判断k•k'是否为定值？并说明理由．
  组卷：626引用：6难度：0.4

  解析

• 22．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  x

  -

  aln

  （

  x

  -

  a

  ）

  ，

  a

  ∈

  R

  ．
  （1）判断函数f（x）的单调性；
  （2）若x₁，x₂是函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  +

  a

  ）

  -

  a

  （

  x

  +

  1

  2

  a

  -

  1

  ）

  的两个极值点，且x₁＜x₂，求证：

  0

  ＜

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  ＜

  1

  2

  ．
  组卷：291引用：3难度：0.6

  解析