2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

• 1．复数

  z

  =

  4

  i

  1

  +

  i

  ，则

  z

  的辐角主值为（　　）

  A． π 4

  B． 7 π 4

  C． 3 π 4

  D． - π 4
  组卷：66引用：1难度：0.8

  解析

• 2．设集合M={x|x²+2x-3＜0，x∈Z}，则M的子集数量是（　　）

  A．8

  B．7

  C．32

  D．31
  组卷：232引用：3难度：0.9

  解析

• 3．椭圆

  E

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的两焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆E上一点，当△F₁AF₂的面积取得最大值时，∠F₁AF₂=（　　）

  A． π 6

  B． π 2

  C． π 3

  D． 2 π 3
  组卷：167引用：1难度：0.7

  解析

• 4．（x+7）⁵展开式中x³项的系数是（　　）

  A．245

  B．10

  C．49

  D．490
  组卷：83引用：1难度：0.5

  解析

• 5．以下什么物体能被放进底面半径为

  1

  2

  m

  ，高为

  3

  m

  的圆柱中（　　）

  A．底面半径为 3 4 m ，母线长为 10 4 m 的圆锥

  B．底面半径为0.01m,高为1.9m的圆柱

  C．边长为1m的立方体

  D．底面积为 3 2 m 2 ，高为1.5m的直三棱柱
  组卷：55引用：1难度：0.4

  解析

• 6．有下列一组数据：4 4 2 4 9 8 0 5 3，则这组数据的第80百分位数是（　　）

  A．5.6

  B．5

  C．8

  D．6.2
  组卷：121引用：1难度：0.5

  解析

• 7．设数列{a_n}的通项公式为

  a

  n

  =

  1

  +

  2

  C

  1

  n

  +

  2

  2

  C

  2

  n

  +

  2

  3

  C

  3

  n

  +

  …

  +

  2

  n

  C

  n

  n

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，其前n项和为S_n，则使S_n＞2023的最小的n是（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：54引用：4难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

• 21．已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的两焦点分别为

  F

  1

  （

  -

  3

  ，

  0

  ）

  ，

  F

  2

  （

  3

  ，

  0

  ）

  ，A是椭圆E上一点，当

  ∠

  F

  1

  A

  F

  2

  =

  π

  3

  时，△F₁AF₂的面积为

  3

  3

  ．
  （1）求椭圆E的方程；
  （2）直线l₁：k₁x-y+2k₁=0（k₁＞0）与椭圆E交于M，N两点，线段MN的中点为P，过P作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线l₂，l₂的斜率为k₂，求k₁-k₂的取值范围．
  组卷：36引用：1难度：0.5

  解析

• 22．记数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

  a

  1

  =

  1

  ，

  2

  S

  n

  -

  a

  n

  =

  n

  2

  ．
  （1）求数列{a_n}的通项公式；
  （2）数列{b_n}满足

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  ，证明对任意n∈N^*，

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  +

  n

  2

  （

  n

  +

  1

  ）

  ＜

  b

  1

  +

  b

  2

  +

  b

  3

  +

  …

  +

  b

  n

  ≤

  ln

  （

  n

  ）

  +

  1

  ；
  （3）某铁道线上共有84列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量X为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算

  E

  （

  X

  ）

  84

  的值（结果保留整数）．
  参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln7≈1.9459．
  组卷：67引用：2难度：0.5

  解析