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2022-2023学年上海市杨浦区控江中学高二（下）月考数学试卷（3月份）

发布：2024/5/24 8:0:9

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．半径为1的球的表面积是
．
组卷：348引用：12难度：0.9
解析
2．双曲线x²-y²=1的两条渐近线的夹角大小为
．
组卷：75引用：3难度：0.7
解析
3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BA₁与平面A₁B₁CD所成的角是
．
组卷：9引用：3难度：0.7
解析
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中任取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有
种？
组卷：19引用：1难度：0.7
解析
5．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为
．
组卷：192引用：6难度：0.7
解析
6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
2
3
和
3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
．
组卷：222引用：12难度：0.7
解析
7．已知双曲线方程为
x
2
9
-
y
2
16
=
1
，点P是该双曲线上的点，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，若|PF₁|•|PF₂|=32，则∠F₁PF₂的大小为
．
组卷：68引用：1难度：0.5
解析

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

20．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”
现有一个“刍甍”如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，EF∥AB，AB=4，EF=2，
EA
=
ED
=
FB
=
FC
=
17
．
（1）设过点F且与直线EF垂直的平面为平面α，且平面α与直线AB、CD分别交于P、Q两点，求△FPQ的周长；
（2）求四面体ABDE的体积；
（3）点N在线段AD上且满足
AN
AD
=
1
3
．试问：在线段CF上是否存在点M，使NF∥平面BDM？若存在，求出
CM
CF
的值；若不存在，请说明理由．
组卷：65引用：2难度：0.5
解析
21．已知椭圆Γ的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（常数a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，点P是椭圆Γ上异于点A的一个动点．若动点P到定点A的距离的最大值仅在P点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b=2．
（1）若a=5，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；
（3）已知椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，点P关于原点O的对称点为点Q（点Q也异于点A），且直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点．试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
组卷：63引用：3难度：0.4
解析