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2023-2024学年浙江省名校协作体高二（上）入学数学试卷

发布：2024/8/12 19:0:1

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4，5}，则∁_C（A∪B）=（　　）
A．{5} B．{2，3} C．{4，5} D．{1，2，3，4}
组卷：60引用：3难度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
2
，
1
）
，
b
=
（
1
，-
3
）
，
（
k
a
-
b
）
⊥
（
a
+
b
）
，则实数k的值为（　　）
A．
-
9
4
B．
9
4
C．-1 D．1
组卷：98引用：4难度：0.7
解析
3．已知异面直线a,b分别为平面α，β的垂线，直线m满足m⊄α，m⊄β，m⊥a,m⊥b,则（　　）
A．α与β相交，且交线与m平行
B．α与β相交，且交线与m垂直
C．α与β平行，m与α平行
D．α与β平行，m与β垂直
组卷：17引用：3难度：0.5
解析
4．在△ABC中，“A＞B”是“sin²A+cos²B＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：117引用：4难度：0.5
解析
5．将函数
f
（
x
）
=
2
sin
（
2
x
+
π
4
）
的图象向左平移
5
6
π
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）在
x
∈
[
-
π
8
，
3
π
8
]
时的值域为（　　）
A．[-2，1] B．[-1，2] C．
[
-
2
，
3
]
D．
[
-
3
，
2
]
组卷：60引用：1难度：0.6
解析
6．二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数为N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为x₁，x₂，…，x_n，即最大编号为x_n，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的．因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x₁，x₂，…，x_n相当于从[1，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成（n+1）个小区间．

由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的，由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度
x
n
n
估计所有（n+1）个区间的平均长度
N
n
+
1
，进而得到N的估计．若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（　　）
A．306 B．315 C．324 D．333
组卷：50引用：1难度：0.7
解析
7．已知x=2log₄3，y=log₉16，z=log₅4，则x,y,z的大小关系为（　　）
A．y＞x＞z B．z＞x＞y C．x＞y＞z D．y＞z＞x
组卷：66引用：4难度：0.8
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．如图所示，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，
∠
BAD
=
π
3
，AD=2DD₁=2A₁D₁，AD⊥DD₁．
（Ⅰ）求证：AD⊥A₁B；
（Ⅱ）若直线A₁B与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
，求二面角A-BD-D₁的余弦值．
组卷：30引用：1难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=
a
x
+
x
a
-
2
x
，x∈（0，+∞），且满足f（1）∈（-1，0）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证函数f（x）存在唯一零点；
（Ⅲ）设f（t）=0，证明a+
2
a
-
1
＜
f
（
t
+
1
）
＜
2
a
+
2
a
-2．
组卷：23引用：1难度：0.5
解析

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A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

2023-2024学年浙江省名校协作体高二（上）入学数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4，5}，则∁C（A∪B）=（ ）

2．已知向量a=（2，1），b=（1，-3），（ka-b）⊥（a+b），则实数k的值为（ ）

3．已知异面直线a,b分别为平面α，β的垂线，直线m满足m⊄α，m⊄β，m⊥a,m⊥b,则（ ）

4．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A+cos2B＞1”的（ ）

5．将函数f（x）=2sin（2x+π4）的图象向左平移56π个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）在x∈[-π8，3π8]时的值域为（ ）

7．已知x=2log43，y=log916，z=log54，则x,y,z的大小关系为（ ）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=π3，AD=2DD1=2A1D1，AD⊥DD1．（Ⅰ）求证：AD⊥A1B；（Ⅱ）若直线A1B与平面ABCD所成角的正弦值为33，求二面角A-BD-D1的余弦值．

22．已知函数f（x）=ax+xa-2x，x∈（0，+∞），且满足f（1）∈（-1，0）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证函数f（x）存在唯一零点；（Ⅲ）设f（t）=0，证明a+2a-1＜f（t+1）＜2a+2a-2．

1．已知A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4，5}，则∁_C（A∪B）=（　　）

2．已知向量
a
=
（
2
，
1
）
，
b
=
（
1
，-
3
）
，
（
k
a
-
b
）
⊥
（
a
+
b
）
，则实数k的值为（　　）

3．已知异面直线a,b分别为平面α，β的垂线，直线m满足m⊄α，m⊄β，m⊥a,m⊥b,则（　　）

4．在△ABC中，“A＞B”是“sin²A+cos²B＞1”的（　　）

5．将函数
f
（
x
）
=
2
sin
（
2
x
+
π
4
）
的图象向左平移
5
6
π
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）在
x
∈
[
-
π
8
，
3
π
8
]
时的值域为（　　）

7．已知x=2log₄3，y=log₉16，z=log₅4，则x,y,z的大小关系为（　　）

21．如图所示，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，
∠
BAD
=
π
3
，AD=2DD₁=2A₁D₁，AD⊥DD₁．
（Ⅰ）求证：AD⊥A₁B；
（Ⅱ）若直线A₁B与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
，求二面角A-BD-D₁的余弦值．

22．已知函数f（x）=
a
x
+
x
a
-
2
x
，x∈（0，+∞），且满足f（1）∈（-1，0）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证函数f（x）存在唯一零点；
（Ⅲ）设f（t）=0，证明a+
2
a
-
1
＜
f
（
t
+
1
）
＜
2
a
+
2
a
-2．