2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷

一、填空题（共16题，每题5分，共80分）

• 1．下列因式分解正确的是

  ．（填序号）
  ①

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  4

  =

  （

  x

  -

  1

  2

  ）

  2

  ；
  ②a⁴b-6a³b+9a²b=a²b（a²-6a+9）；
  ③x²-2x+4=（x-2）²；
  ④4x²-y²=（4x+y）（4x-y）．
  组卷：187引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知

  a

  =

  （

  3

  5

  ）

  -

  1

  3

  ，

  b

  =

  （

  5

  3

  ）

  1

  2

  ，

  c

  =

  （

  4

  3

  ）

  -

  1

  2

  ，则a、b、c三个数的大小关系是

  ．
  组卷：67引用：1难度：0.5

  解析

• 3．关于x的一元二次方程kx²-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

  ．
  组卷：500引用：5难度：0.5

  解析

• 4．一个数x的小数部分用{x}表示，x-{x}为整数，且0≤{x}≤1，记9+

  13

  ，9-

  13

  的小数部分分别为a,b,则ab-4a+3b-2=

   

  ．
  组卷：393引用：2难度：0.5

  解析

• 5．关于x的不等式组

  x ＞ m + 3

  5 x - 2 ＜ 4 x + 1

  的整数解仅有4个，则m的取值范围是

  ．
  组卷：1550引用：10难度：0.5

  解析

• 6．一次函数y=

  4

  3

  x+b（b＜0）与y=

  4

  3

  x-1图象之间的距离等于3，则b的值为

   

  ．
  组卷：339引用：2难度：0.9

  解析

二、解答题（共4题，每题10分，共40分）

• 19．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
  （1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有

  ；
  ②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC=a,BD=b,则该四边形的面积为

  ；
  （2）如图，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S₁，S₂，S₃，S₄，且同时满足四个条件：①

  S

  =

  S

  1

  +

  S

  2

  ；②

  S

  =

  S

  3

  +

  S

  4

  ；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC=60°；若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
  组卷：155引用：1难度：0.3

  解析

• 20．如图，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）存在正实数m,n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好满足

  m

  m

  +

  3

  ≤

  2

  y

  +

  2

  ≤

  n

  n

  +

  3

  ，求m,n的值．
  组卷：157引用：1难度：0.5

  解析