2023-2024学年上海市奉贤区奉贤中学高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．

• 1．若1∈{x,x²}，则x=

  ．
  组卷：670引用：17难度：0.9

  解析

• 2．已知集合M={x|y=lnx}，集合

  N

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  1

  x

  -

  1

  }

  ，则M∩N=

  ．
  组卷：33引用：2难度：0.8

  解析

• 3．函数f（x）=sin²x的最小正周期为

  ．
  组卷：112引用：4难度：0.8

  解析

• 4．若tanθ=-2，那么

  1

  +

  sinθcosθ

  si

  n

  2

  θ

  -

  co

  s

  2

  θ

  =

  ．
  组卷：201引用：2难度：0.7

  解析

• 5．若等式x²-10x-7=a（x+1）²+b（x+1）+c恒成立，则a+b+c的值为

  ．
  组卷：12引用：2难度：0.7

  解析

• 6．若f（x）为可导函数，且

  lim

  x

  →

  0

  f

  （

  1

  -

  2

  x

  ）

  -

  f

  （

  1

  ）

  4

  x

  =

  -

  1

  ，则在曲线y=f（x）上点（1，f（1））处的切线斜率为

  ．
  组卷：421引用：3难度：0.8

  解析

• 7．已知向量

  a

  =

  （

  sin

  2

  x

  ,

  2

  cosx

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  cosx

  ）

  ，则函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  •

  b

  -

  1

  ，

  x

  ∈

  [

  -

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]

  的单调递增区间为

  ．
  组卷：157引用：4难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

• 20．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路l₁，l₂成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在l₁和l₂上，修建的木栈道AB与道路l₁，l₂围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
  
  （1）当△OAB为正三角形时求修建的木栈道AB与道路l₁，l₂围成的三角地块OAB面积；
  （2）若△OAB的面积

  S

  =

  10

  3

  ，求木栈道AB长；
  （3）如图2，设∠CAB=α，
  ①将木栈道AB的长度表示为α的函数，并指定定义域；
  ②求木栈道AB的最小值．
  组卷：50引用：3难度：0.5

  解析

• 21．定义可导通数f（x）在x处的弹性函数为

  f

  ′

  （

  x

  ）

  •

  x

  f

  （

  x

  ）

  ，其中f′（x）为f（x）的导函数，在区间D上，若函数f（x）的弹性函数值大于1，则称f（x）在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f（x）的弹性区间．
  （1）若r（x）=e^x+1，求r（x）的弹性函数；
  （2）对于函数f（x）=（x-1）e^x+lnx-tx（其中e为自然对数的底数）
  （ⅰ）当t=0时，求f（x）的弹性区间D；
  （ⅱ）若f（x）＞1在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
  组卷：111引用：2难度：0.1

  解析