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2022-2023学年河北省唐山市开滦二中高三（上）第四次月考数学试卷

发布：2024/8/22 21:0:1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R，集合A={x|x²-3x≤0}，B={y|y=2^x}，则∁_U（A∪B）=（　　）
A．（-∞，3] B．（0，+∞） C．（-∞，0） D．（-∞，3）
组卷：2引用：2难度：0.7
解析
2．已知正项等比数列{a_n}，公比q≠1，若
a
3
m
=
a
4
a
5
a
6
，则m=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
组卷：0引用：2难度：0.7
解析
3．已知复数z满足
z
-
i
=
4
+
3
i
i
，则z=（　　）
A．3+3i B．3-3i C．-3+3i D．-3-3i
组卷：3引用：3难度：0.8
解析
4．“熵”的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年提出的，在希腊语源中意为“内在”，即“一个系统内在性质的改变”．“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为
H
=
-
k
B
n
∑
i
=
1
p
i
ln
p
i
（H越大，混乱程度越高），其中i表示所有可能的微观态，p_i表示微观态i出现的概率，玻尔兹曼常数k_B为大于0的常数．在以下四个系统中，混乱程度最高的是（　　）
A．
p
1
=
p
2
=
1
2
B．
p
1
=
1
3
，
p
2
=
2
3
C．
p
1
=
p
2
=
p
3
=
1
3
D．
p
1
=
1
6
，
p
2
=
1
3
，
p
3
=
1
2
组卷：6引用：2难度：0.7
解析
5．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为
y
=
-
2
3
x
，则双曲线C的离心率为（　　）
A．
3
2
4
B．
11
3
C．
4
3
3
D．
3
组卷：4引用：3难度：0.7
解析
6．
（
x
-
1
x
-
1
）
5
的展开式中的常数项为（　　）
A．-11 B．50 C．-61 D．61
组卷：10引用：3难度：0.8
解析
7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术注》中记载：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘．把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一体积为
56
3
的“刍童”，如图所示，四棱台ABCD-EFGH的上、下底面均为正方形，且平面ABCD∥平面EFGH，EF=2AB=4，FB⊥平面ABCD，∠EAF=90°，直线AE与平面EFGH所成的角为45°，M，N分别为棱AE，CG的中点，则直线AF与MN所成角的正切值为（　　）
A．
3
3
B．
2
2
C．
2
D．
3
组卷：8引用：1难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0），过焦点F₁且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴的两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过左焦点F₁的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D（不与F₁重合），是否存在实数λ，使得
|
AB
|
=
λ
|
D
F
1
|
恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由．
组卷：36引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=e^x-2ln（x+1）．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）若f（x）≥ax+1恒成立，求实数a.
组卷：42引用：2难度：0.5
解析