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2022-2023学年山东省青岛五十八中高一（下）月考数学试卷（3月份）

发布：2024/6/19 8:0:9

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
e
1
，
e
2
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
e
1
+
e
2
和
e
1
-
3
e
2
B．
e
1
+
6
e
2
和
e
1
+
e
2
C．
3
e
1
-
4
e
2
和
6
e
1
-
8
e
2
D．
e
1
+
2
e
2
和
2
e
1
-
e
2
组卷：266引用：7难度：0.8
解析
2．在平面直角坐标系xOy中，点P₁（1，3），P₂（4，0），且P是线段P₁P₂的一个三等分点（靠近P₁点），则向量
OP
=（　　）
A．（2，2） B．（3，-1）
C．（2，2）或（3，-1） D．（2，2）或（3，1）
组卷：99引用：2难度：0.8
解析
3．将函数f（x）=cos（x+
π
6
）图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（　　）
A．[-
π
6
，
π
3
] B．[-
π
3
，
5
π
3
] C．[-
π
6
，
11
π
6
] D．[-
π
12
，
5
π
12
]
组卷：191引用：9难度：0.9
解析
4．已知
f
（
x
）
=
cosx
•
sin
（
x
-
π
6
）
，则下列描述中正确的是（　　）
A．函数周期是2π
B．x为锐角，函数最大值是
1
4
C．直线
x
=
π
3
不是函数的一条对称轴
D．x为钝角，函数没有最小值
组卷：100引用：3难度：0.6
解析
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列命题正确的个数是（　　）
（1）若A＞B，则sinA＞sinB
（2）若A=30°，b=4，a=3．则△ABC有两解
（3）已知△ABC的外接圆的圆心为O，
AB
=
3
，
AC
=
2
，M为BC上一点，且有
BM
=
2
MC
，则
AM
•
AO
=
7
6
．
（4）若三角形ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
组卷：62引用：2难度：0.5
解析
6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了△ABD，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算cos∠ACD的值（　　）
A．
1
2
B．
5
9
C．
14
6
D．
22
6
组卷：77引用：4难度：0.5
解析
7．已知△ABC是边长为2a（a＞0）的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则
PA
•
（
PB
+
PC
）
的值不可能是（　　）
A．-a² B．
-
3
2
a
2
C．
-
4
3
a
2
D．-2a²
组卷：58引用：4难度：0.6
解析

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四、解答题（写出必要的解题过程，只写结果不得分）

21．已知函数f（x）=asinx+bcosx,称向量
p
=（a,b）为f（x）的特征向量，f（x）为
p
的特征函数．
（Ⅰ）设g（x）=2sin（π-x）+sin（
3
2
π-x），求g（x）的特征向量；
（Ⅱ）设向量
p
=（
3
，1）的特征函数为f（x），求当f（x）=
6
5
且x∈（-
π
6
，
π
3
）时，sinx的值；
（Ⅲ）设向量
p
=（-
1
2
，
3
2
）的特征函数为f（x），记h（x）=f²（x）-
1
4
，若h（x）在区间[a,b]上至少有40个零点，求b-a的最小值．
组卷：104引用：9难度：0.5
解析
22．后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且OA=90cm,
∠
AOB
=
π
3
．记∠POB=θ．
（1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最大值；
（2）记
OP
=
x
OA
+
y
OB
，若t=x+μy（μ＞0）存在最大值，求μ的取值范围．
组卷：92引用：6难度：0.2
解析