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2022-2023学年河北省保定市定州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）

发布：2024/7/6 8:0:9

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
A
=
{
x
|
x
+
2
2
x
+
1
=
1
}
，
B
=
{
x
|
x
（
x
+
1
）
＜
2
}
，则A∪B=（　　）
A．（-2，1] B．（-1，2） C．（-2，-1] D．[-1，1]
组卷：133引用：2难度：0.7
解析
2．已知向量
a
=
（
-
1
，
4
）
，
b
=
（
3
，-
2
λ
）
，若
a
∥
（
2
a
+
b
）
，则λ=（　　）
A．-1 B．6 C．-6 D．2
组卷：323引用：7难度：0.7
解析
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c若
a
=
2
2
，
b
=
2
3
，
B
=
π
3
，则C=（　　）
A．
π
4
B．
5
π
12
C．
7
π
12
D．
3
π
4
组卷：80引用：2难度：0.8
解析
4．如图所示，
BC
=
2
BE
=
2
AD
，
CF
=
1
3
CD
，则
BF
+
AE
=（　　）
A．
4
3
AB
+
10
3
AD
B．
2
3
AB
+
8
3
AD
C．
-
2
3
AB
+
4
3
AD
D．
2
3
AB
+
17
6
AD
组卷：38引用：2难度：0.6
解析
5．若正数a,b满足
a
+
3
b
=
1
3
，则
1
3
a
+
1
b
的最小值为（　　）
A．8 B．
16
3
C．16 D．48
组卷：371引用：2难度：0.8
解析
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c.已知
2
sin
B
a
=
sin
A
2
b
，
cos
A
=
-
1
4
，则
c
b
=（　　）
A．
3
2
B．
2
3
C．
3
4
D．
1
2
组卷：92引用：4难度：0.7
解析
7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点P为△ABC的费马点．已知点E为等边△MNQ的费马点，且
|
MN
|
=
6
，则
EM
•
EN
+
EM
•
EQ
+
EN
•
EQ
=（　　）
A．-12 B．-36 C．
-
12
3
D．-18
组卷：132引用：4难度：0.5
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．

21．农田节水灌溉的目的是节约水资源、土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效．如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°．现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°．
（1）探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？
组卷：19引用：5难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=x²+log₂x.
（1）证明：对任意λ∈（0，+∞），总存在μ∈（0，+∞），使得f（x）＞0对x∈（λμ，+∞）恒成立．
（2）若不等式tf（x）+x＜3-t²对t∈[0，1]恒成立，求x的取值范围．
组卷：11引用：2难度：0.5
解析