2022-2023学年上海市松江一中高二（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．）

• 1．抛物线y²=4x的焦点坐标是

  ．
  组卷：443引用：26难度：0.9

  解析

• 2．函数y=xe^x的严格增区间为

  ．
  组卷：143引用：1难度：0.8

  解析

• 3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N（110，σ²），若P（110≤ξ≤130）=0.35，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为

  ．
  组卷：148引用：3难度：0.9

  解析

• 4．已知a＞b＞0，双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的两个焦点为F₁，F₂，若椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的两个焦点是线段F₁F₂的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为

  ．
  组卷：176引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，A（-2，0）、B（1，2）、C（1，

  3

  2

  ）、D（1，-

  3

  2

  ）四个点中恰有三个点在椭圆C上，则椭圆C的方程是

  ．
  组卷：407引用：3难度：0.9

  解析

• 6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表
  

  广告费用 x（万元）	4	2	3	5
  销售额y（万元）	49	26	39	54

  根据上表可得回归方程

  ˆ

  y

  =

  ˆ

  b

  x+

  ˆ

  a

  中的

  ˆ

  b

  为10，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

   

  万元．
  组卷：76引用：3难度：0.7

  解析

• 7．播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为

  ．
  组卷：111引用：3难度：0.9

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

• 20．已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁、F₂，长轴长为4，

  P

  （

  3

  ，

  1

  2

  ）

  是椭圆Γ上的一点，直线l的斜率为k,在y轴上的截距为m.
  （1）求椭圆Γ的标准方程；
  （2）设k=1，直线l与椭圆Γ交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值；
  （3）设

  n

  是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义

  δ

  N

  =

  n

  •

  MN

  |

  n

  |

  ．用a、b、k、m表示

  δ

  F

  1

  •

  δ

  F

  2

  ，并利用

  δ

  F

  1

  •

  δ

  F

  2

  与b²的大小关系，提出一个关于l与Γ位置关系的真命题，给出命题的证明．
  组卷：70引用：1难度：0.2

  解析

• 21．若对任意的实数k,b,函数y=f（x）+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f（x）为“恒切函数”．
  （1）判断函数f（x）=x²是否为“恒切函数”；
  （2）若函数f（x）=mlnx+nx（m≠0）是“恒切函数”，求实数m,n满足的关系式；
  （3）若函数f（x）=（e^x-x-1）e^x+m是“恒切函数”，求证：

  -

  1

  4

  ＜

  m

  ≤

  0

  ．
  组卷：165引用：3难度：0.7

  解析