2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

• 1．不等式

  x

  +

  3

  x

  -

  1

  ＞

  0

  的解集为

  ．
  组卷：124引用：4难度：0.7

  解析

• 2．若双曲线x²-

  y

  2

  m

  =1的离心率为

  3

  ，则实数m=

  ．
  组卷：2913引用：15难度：0.9

  解析

• 3．已知复数z=1+2i,则z•

  z

  =

  ．
  组卷：194引用：8难度：0.7

  解析

• 4．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为

  ．
  组卷：332引用：19难度：0.9

  解析

• 5．已知正实数x,y满足：

  x

  +

  1

  y

  =

  1

  ，则

  x

  y

  的最大值为

  ．
  组卷：111引用：6难度：0.7

  解析

• 6．记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若8S₆=7S₃，则{a_n}的公比为

  ．
  组卷：3061引用：6难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足

  a

  +

  c

  b

  =

  sin

  A

  -

  sin

  B

  sin

  A

  -

  sin

  C

  则角C=

  ．
  组卷：115引用：6难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分78分，17-19每题14分，20-21每题18分）．解答下列各题考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  过点A（-2，-1），离心率e=

  3

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
  （3）设过点D（-4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q．求证：线段PQ的中点为定点．
  组卷：361引用：8难度：0.2

  解析

• 21．对于函数y=f（x），若实数x₀满足f（x₀）f（x₀+F）=D，其中F、D为实数，则x₀称为函数f（x）的“F-D-笃志点”．
  （1）若f（x）=x+1，求函数f（x）的“1-2-笃志点”；
  （2）已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  e x	x ＞ 0
  1 x + a	x ＜ 0

  ，且函数f（x）有且只有3个“1-1-笃志点”，求实数a的取值范围；
  （3）定义在R上的函数f（x）满足：存在唯一实数m,对任意的实数x,使得f（m+x）=f（m-x）恒成立或f（m+x）=-f（m-x）恒成立．对于有序实数对（F，D），讨论函数f（x）“F-D-笃志点”个数的奇偶性，并说明理由．
  组卷：73引用：1难度：0.1

  解析