2013年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（四）推理与证明、变化率与导数、导数应用

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）

• 1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）

  A．假设a、b、c都是偶数

  B．假设a、b、c都不是偶数

  C．假设a、b、c至多有一个偶数

  D．假设a、b、c至多有两个偶数
  组卷：518引用：147难度：0.9

  解析

• 2．某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可近似地表示为

  f

  （

  t

  ）

  =

  t

  2

  100

  ，则在时刻t=10min的降雨强度为（　　）

  A． 1 5 mm/min

  B． 1 4 mm/min

  C． 1 2 mm/min

  D．1mm/min
  组卷：29引用：2难度：0.9

  解析

• 3．已知函数f（x）在x=-2处的导数为2，则f（x）的解析式不可能为（　　）

  A．x+ln（x+3）

  B． 1 2 x2+4x

  C． 2 π sin π 2 x

  D． 9 4 x+ 1 x
  组卷：81引用：1难度：0.9

  解析

• 4．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，且|x₁|＜|x₂|，则有（　　）

  A．a＞0，b＞0，c＜0，d＞0	B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0
  C．a＞0，b＜0，c＞0，d＜0	D．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0
  组卷：76引用：5难度：0.7

  解析

• 5．下面几种推理是合情推理的是（　　）
  （1）由圆的性质类比出球的有关性质；
  （2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
  （3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
  （4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n-2）•180°．

  A．（1）（2）

  B．（1）（3）

  C．（1）（2）（4）

  D．（2）（4）
  组卷：419引用：26难度：0.9

  解析

• 6．函数y=xsinx+cosx,x∈（-π，π）的单调增区间是（　　）

  A．（-π，- π 2 ）和（0， π 2 ）	B．（- π 2 ，0）和（0， π 2 ）
  C．（-π，- π 2 ）和（ π 2 ，π）	D．（- π 2 ，0）和（ π 2 ，π）
  组卷：563引用：9难度：0.9

  解析

• 7．设a∈R，若函数f（x）=e^x-ax,x∈R有大于零的极值点，则（　　）

  A．a＜1

  B．a＞1

  C．a＜ 1 e

  D．a＞ 1 e
  组卷：201引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

• 20．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系

  x

  =

  2000

  t

  ．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
  （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
  （2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
  组卷：309引用：53难度：0.5

  解析

• 21．设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
  （1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄并由此猜测a_n的一个通项公式；
  （2）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有
  ①a_n≥n+2
  ②

  1

  1

  +

  a

  1

  +

  1

  1

  +

  a

  2

  +

  1

  1

  +

  a

  3

  +

  …

  +

  1

  1

  +

  a

  n

  ≤

  1

  2

  ．
  组卷：1101引用：16难度：0.5

  解析