2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

• 1．已知集合A=N^*，B={x||2x-1|＜5}，则A∩B=

  （用列举法表示）．
  组卷：225引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=

  ．
  组卷：166引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知

  tan

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  =

  -

  3

  ，则tanα=

  ．
  组卷：35引用：1难度：0.5

  解析

• 4．已知幂函数f（x）=x^a的图象过点（

  2

  ，2

  2

  ），且f（m-2）＞1，则实数m的取值范围是

  ．
  组卷：261引用：3难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，若AB=2，∠B=

  5

  π

  12

  ，∠C=

  π

  4

  ，则BC=

  ．
  组卷：671引用：5难度：0.8

  解析

• 6．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为

  arccos

  4

  5

  ，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：242引用：7难度：0.9

  解析

• 7．在（x+

  2

  ）⁷的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为

  ．（用数字作答）
  组卷：188引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

• 20．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，且F₁，F₂与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（

  2

  2

  ，

  3

  2

  ）在椭圆E上，过点F₂作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点．
  （1）求椭圆的方程；
  （2）求证：直线MN过定点R（

  2

  3

  ，0）；
  （3）求△MNF₂面积的最大值．
  组卷：1424引用：9难度：0.1

  解析

• 21．.已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
  （1）求f（x）的最大值；
  （2）若对∀x₁∈（0，+∞），总存在

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围；
  （3）证明不等式

  sin

  （

  1

  n

  ）

  n

  +

  sin

  （

  2

  n

  ）

  n

  +

  …

  +

  sin

  （

  n

  n

  ）

  n

  ＜

  e

  e

  -

  1

  （其中e是自然对数的底数）．
  组卷：320引用：3难度：0.2

  解析