.已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对∀x1∈（0，+∞），总存在x2∈（0，π2），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围；
（3）证明不等式sin（1n）n+sin（2n）n+…+sin（nn）n＜ee-1（其中e是自然对数的底数）．
x
2
∈
（
0
，
π
2
）
sin
（
1
n
）
n
+
sin
（
2
n
）
n
+
…
+
sin
（
n
n
）
n
＜
e
e
-
1
【考点】利用导数求解函数的最值．
【答案】（1）f（x）的最大值为f（1）=0；
（2）实数a的范围是（-∞，1）；
（3）证明过程见解析．
（2）实数a的范围是（-∞，1）；
（3）证明过程见解析．
【解答】
【点评】
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