2022-2023学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）开学数学试卷

一、单选题。

• 1．圆心为（1，-1）且过原点的圆的方程是（　　）

  A．（x+1）2+（y-1）2=1	B．（x+1）2+（y+1）2=1
  C．（x-1）2+（y+1）2=2	D．（x-1）2+（y-1）2=2
  组卷：1304引用：15难度：0.7

  解析

• 2．在数列{a_n}中，若a₁=

  1

  2

  ，且对任意的n∈N^*有

  a

  n

  +

  1

  a

  n

  =

  n

  +

  1

  2

  n

  ，则数列{a_n}前10项的和为（　　）

  A． 509 256

  B． 511 256

  C． 756 512

  D． 755 512
  组卷：314引用：3难度：0.6

  解析

• 3．设公比为-2的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=

  11

  2

  ，则a₄等于（　　）

  A．8

  B．4

  C．-4

  D．-8
  组卷：527引用：4难度：0.9

  解析

• 4．已知直线l₁：mx+y-1=0与直线l₂：（m-2）x+my-2=0，则“m=1”是“l₁⊥l₂”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．充要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：215引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

  A． 2 3

  B． 3 3

  C． 2 3

  D． 1 3
  组卷：3035引用：67难度：0.7

  解析

• 6．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0））的左顶点为A，右焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B．若直线AB的斜率为

  1

  3

  ，则双曲线C的离心率为（　　）

  A． 4 3

  B． 5 3

  C． 5 4

  D．2
  组卷：41引用：2难度：0.6

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• 7．已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点F与抛物线y²=16x的焦点重合，过点F的直线交E于A、B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆E方程为（　　）

  A． x 2 24 + y 2 8 = 1	B． x 2 25 + y 2 9 = 1
  C． x 2 36 + y 2 20 = 1	D． x 2 18 + y 2 9 = 1
  组卷：281引用：6难度：0.7

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四、解答题。

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左右两个焦点分别为F₁，F₂，以坐标原点为圆心，过F₁，F₂的圆的内接正三角形的面积为3

  3

  ，以F₂为焦点的抛物线M：y²=2px（p＞0）的准线与椭圆C的一个公共点为P，且|PF₂|=3

  2

  ．
  （1）求椭圆C和抛物线M的方程；
  （2）过F₂作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，求四边形AGBH面积的最小值．
  组卷：103引用：3难度：0.6

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• 22．已知函数f（x）=axe^x+（x+1）²，x∈R．
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）若a＜-2e,证明f（x）有且只有一个极小值点x₁和一个零点x₂，且x₁+x₂＜2-ln2
  组卷：98引用：3难度：0.3

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