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2023-2024学年河北省衡水十三中高三（上）开学数学试卷

发布：2024/8/5 8:0:8

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数y=x²+2（a-1）+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[3，+∞） B．（-∞．-3] C．[-3，+∞） D．（-∞，3]
组卷：160引用：3难度：0.8
解析
2．已知函数
f
（
x
）
=
-
x
2
+
2
ax
-
1
，
x
＜
2
lo
g
a
（
x
-
1
）
+
2
a
,
x
≥
2
，则“a≥2”是“f（x）在R上单调递增”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
组卷：90引用：12难度：0.6
解析
3．如是函数
f
（
x
）
=
x
+
a
x
b
（
a
∈
R
，
b
∈
N
*
）
的部分图象，则（　　）
A．a＞0，b是奇数 B．a＜0，b是奇数
C．a＞0，b是偶数 D．a＜0，b是偶数
组卷：15引用：3难度：0.7
解析
4．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过20%，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为1.5%，该品牌设置的质保期至多为（　　）（参考数据：lg2≈0.3010，lg985≈2.9934）
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
组卷：246引用：15难度：0.7
解析
5．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（　　）
A．沙漏中的细沙体积为
1024
π
81
cm³
B．沙漏的体积是128πcm³
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π≈3.14）
组卷：66引用：5难度：0.4
解析
6．已知函数f（x），f（x+2）均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，设a=f（log₈
1
2
），b=f（7.5），c=f（-5），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b
组卷：21引用：9难度：0.9
解析
7．如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为
2
π
3
，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若
OP
=
x
OA
+
y
OB
，那么2x+y的最大值是（　　）
A．
3
3
2
B．3 C．
2
21
3
D．
7
组卷：221引用：4难度：0.6
解析

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四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，离心率
e
=
2
2
，它的长轴长等于圆x²+y²-2x+4y-3=0的直径．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点
P
（
0
，-
2
3
）
的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由？
组卷：199引用：2难度：0.3
解析
22．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=f（x）+ae^x，其中a∈R．
（1）求过点（-1，-1）且与函数f（x）的图象相切的直线方程；
（2）①求证：当x＞0时，
e
x
＞
1
+
x
+
x
2
2
；
②若函数g（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求证：
|
x
2
-
x
1
|
＜
2
1
a
2
+
2
a
-
1
．
组卷：121引用：3难度：0.1
解析

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A．充要条件	B．充分不必要条件
C．必要不充分条件	D．既不充分又不必要条件

A．a＞0，b是奇数	B．a＜0，b是奇数
C．a＞0，b是偶数	D．a＜0，b是偶数

2023-2024学年河北省衡水十三中高三（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数y=x2+2（a-1）+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

2．已知函数f（x）=-x2+2ax-1，x＜2loga（x-1）+2a,x≥2，则“a≥2”是“f（x）在R上单调递增”的（ ）

3．如是函数f（x）=x+axb（a∈R，b∈N*）的部分图象，则（ ）

6．已知函数f（x），f（x+2）均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，设a=f（log812），b=f（7.5），c=f（-5），则a、b、c的大小关系是（ ）

7．如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP=xOA+yOB，那么2x+y的最大值是（ ）

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

22．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=f（x）+aex，其中a∈R．（1）求过点（-1，-1）且与函数f（x）的图象相切的直线方程；（2）①求证：当x＞0时，ex＞1+x+x22；②若函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：|x2-x1|＜21a2+2a-1．

1．已知函数y=x²+2（a-1）+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

2．已知函数
f
（
x
）
=
-
x
2
+
2
ax
-
1
，
x
＜
2
lo
g
a
（
x
-
1
）
+
2
a
,
x
≥
2
，则“a≥2”是“f（x）在R上单调递增”的（　　）

3．如是函数
f
（
x
）
=
x
+
a
x
b
（
a
∈
R
，
b
∈
N
*
）
的部分图象，则（　　）

6．已知函数f（x），f（x+2）均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，设a=f（log₈
1
2
），b=f（7.5），c=f（-5），则a、b、c的大小关系是（　　）

7．如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为
2
π
3
，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若
OP
=
x
OA
+
y
OB
，那么2x+y的最大值是（　　）