2023-2024学年广东省广州五中高二（上）第一次段考数学试卷

一.选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。请用2B铅笔填涂答案在答卷相应位置上）

• 1．直线

  3

  x+3y-1=0的倾斜角为（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：46引用：13难度：0.7

  解析

• 2．已知向量

  a

  =（-2，3，-1），

  b

  =（4，m,n），且

  a

  ∥

  b

  ，其中m,n∈R，则m+n=（　　）

  A．4

  B．-4

  C．2

  D．-2
  组卷：408引用：15难度：0.8

  解析

• 3．已知直线x+2y-4=0与直线2x+4y+7=0平行，则它们之间的距离为（　　）

  A． 5

  B． 10

  C． 3 5 2

  D． 3 10 2
  组卷：305引用：8难度：0.8

  解析

• 4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是C₁D₁的中点，且

  AP

  =

  AD

  +

  x

  AB

  +

  y

  A

  A

  1

  ，则实数x+y的值为（　　）

  A． - 3 2

  B．- 1 2

  C． 1 2

  D． 3 2
  组卷：163引用：5难度：0.6

  解析

• 5．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（　　）
  

  A． - 3 2

  B． 3 2

  C． - 1 2

  D． 1 2
  组卷：103引用：3难度：0.7

  解析

• 6．过定点A的动直线x+ky=0和过定点B的动直线kx-y-2k+1=0交于点M，则|MA|+|MB|的最大值是（　　）

  A． 2 2

  B．3

  C． 10

  D． 15
  组卷：83引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知曲线y=

  -

  x

  2

  +

  4

  x

  -

  3

  与直线kx-y+k-1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

  A． [ 1 2 ， 3 4 ）

  B． （ 0 ， 3 4 ）

  C． [ 1 2 ， 2 3 ）

  D． [ 1 4 ， 2 3 ）
  组卷：787引用：10难度：0.5

  解析

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

• 21．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一．如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，A为坐标原点），AB长12米，AD长5米．在A处有一只电子狗，在AB边上距离A点6米的E点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍．若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点P，那么电子狗被机器人捕获，称点P为成功点．
  （1）求成功点P的轨迹方程；
  （2）为了记录比赛情况，摄影机从AD边上某点F处沿直线方向往C点运动，要求直线FC与点P的轨迹没有公共点，求点F纵坐标y₀的取值范围．
  组卷：54引用：6难度：0.5

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• 22．在梯形ABCD中，AB∥CD，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得二面角B-AC-D'为直二面角（如图2）．
  （Ⅰ）求证：BC∥平面POD'；
  （Ⅱ）求二面角A-BC-D'的大小；
  （Ⅲ）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为

  6

  8

  ？若存在，求出

  PQ

  PD

  ′

  的值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：306引用：4难度：0.4

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