2022-2023学年重庆市育才中学高一（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

• 1．已知平面向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  k

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，若

  （

  a

  +

  2

  b

  ）

  ∥

  c

  ，则k=（　　）

  A．1

  B．-1

  C． - 1 4

  D． 1 4
  组卷：246引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知α是第二象限角，则点

  P

  （

  tan

  α

  2

  ，

  sin

  2

  α

  ）

  位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：100引用：3难度：0.6

  解析

• 3．如图，C₆₀是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，足球其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯．根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角θ（0＜θ≤180°）满足

  α

  +

  βcosθ

  +

  γ

  （

  3

  2

  cos

  2

  θ

  -

  1

  2

  ）

  +

  δ

  （

  5

  2

  cos

  3

  θ

  -

  3

  2

  cosθ

  ）

  =

  0

  ，式中α，β，γ，δ分别为杂化轨道中s,p,d,f轨道所占的百分数．C₆₀中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d,f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp^2.28，它表示参与杂化的s,p轨道数之比为1：2.28，由此可计算得一个C₆₀中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（　　）

  A．20， 8 41 57

  B．12， 8 41 57

  C．20， 399 32

  D．12， 399 32
  组卷：103引用：4难度：0.5

  解析

• 4．已知

  sinα

  +

  cosα

  =

  -

  17

  13

  ，

  α

  ∈

  （

  π

  ，

  5

  4

  π

  ）

  ，则sinα-cosα=（　　）

  A． 2 13

  B． - 2 13

  C． 7 13

  D． - 7 13
  组卷：420引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知非零向量

  a

  ，

  b

  满足

  （

  a

  -

  b

  ）

  ⊥

  （

  a

  -

  7

  b

  ）

  ，

  （

  a

  +

  2

  b

  ）

  ⊥

  （

  2

  a

  -

  11

  b

  ）

  ，则

  sin

  〈

  a

  ，

  b

  〉

  =（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C． 5 13

  D． 12 13
  组卷：111引用：2难度：0.5

  解析

• 6．已知

  a

  =

  （

  1

  2

  ）

  1

  .

  5

  ，

  b

  =

  lo

  g

  4

  3

  ，

  c

  =

  si

  n

  2

  1

  ，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜c＜a

  C．c＜a＜b

  D．a＜c＜b
  组卷：27引用：2难度：0.7

  解析

• 7．如图，在梯形ABCD中，

  AD

  =

  DC

  =

  1

  2

  AB

  =

  1

  且AB⊥AD，P为以A为圆心AD为半径的

  1

  4

  圆弧上的一动点，则

  PD

  •

  （

  PB

  +

  PC

  ）

  的最小值为（　　）

  A． 3 - 2 2

  B． 3 - 3 2

  C． 3 - 4 2

  D． 3 - 5 2
  组卷：463引用：6难度：0.5

  解析

四、解答题（共6小题，满分70分）

• 21．已知a∈R，函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  2

  （

  x

  2

  -

  3

  x

  +

  a

  ）

  ．
  （1）若函数f（x）的图象经过点（3，1），求不等式f（x）＜1的解集；
  （2）设a＞2，若对任意t∈[3，4]，函数f（x）在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
  组卷：88引用：3难度：0.5

  解析

• 22．设n次多项式T_n（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+⋯+a₂x²+a₁x¹+a₀，（a_n≠0），若其满足T_n（cosθ）=cosnθ，则称这些多项式T_n（x）为切比雪夫多项式．例如：由cos2θ=2cos²θ-1可得切比雪夫多项式T₂（x）=2x²-1．
  （1）求切比雪夫多项式T₃（x）；
  （2）求sin18°的值；
  （3）已知方程8x³-6x-1=0在（-1，1）上有三个不同的根，记为x₁，x₂，x₃，求证：x₁+x₂+x₃=0．
  组卷：283引用：2难度：0.1

  解析