2022-2023学年天津市南开中学高二（上）质检数学试卷（一）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共10小题，每小题4分，共40分．

• 1．已知向量

  a

  =（1，2，3），

  b

  =（0，1，2），则2

  a

  -

  b

  =（　　）

  A．（2，3，4）

  B．（2，3，3）

  C．（2，5，8）

  D．（2，4，6）
  组卷：130引用：3难度：0.8

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• 2．已知三角形ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（2，-3），C（3，3），则AB边上的中线所在直线的方程为（　　）

  A．x-y=0

  B．x+y-6=0

  C．3x-y-6=0

  D．3x+y-12=0
  组卷：364引用：5难度：0.8

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• 3．圆x²+y²-4x-2y+1=0与圆x²+y²+2x-2y+1=0的公切线有（　　）

  A．1条

  B．2条

  C．3条

  D．4条
  组卷：218引用：3难度：0.7

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• 4．与直线y=

  3

  x切于点

  A

  （

  3

  ，

  3

  ）

  ，且圆心在x轴上的圆的方程为（　　）

  A．（x-4）2+y2=4	B． （ x - 2 3 ） 2 + y 2 =16
  C． （ x + 4 3 ） 2 + y 2 =36	D． （ x - 4 3 ） 2 + y 2 =36
  组卷：181引用：3难度：0.7

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• 5．若过点P（1，-1）的直线l与直线y=-2x+3的交点位于第一象限，则直线l斜率的取值范围是（　　）

  A．（-4，2）	B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
  C．（-∞，-4）∪（2，+∞）	D．（-∞，-2）∪（2，+∞）
  组卷：172引用：3难度：0.7

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• 6．从点A（-4，1）出发的一条光线l,经过直线l₁：x-y+3=0反射，反射光线恰好经过点B（-3，2），则反射光线所在直线的斜率为（　　）

  A．-2

  B．-3

  C．- 1 3

  D．- 3 5
  组卷：350引用：4难度：0.8

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三．解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 18．为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设AB=BC=8，AA₁=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF-O₁E₁C₁F₁与正四棱柱OECF-O₂E₂C₂F₂分别代表电梯井与电梯厢，设OO₂=2，M为棱FF₁的中点，N，K分别为棱AA₁，DD₁上的点，AN=8，DK=4．
  （I）求证：OM∥平面A₁CF₁；
  （Ⅱ）求直线A₁O与平面A₁CF₁所成角的正弦值；
  （Ⅲ）“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO₂的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面O₂E₂C₂F₂与平面A₁B₁C₁D₁重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．
  组卷：120引用：3难度：0.3

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• 19．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，直线y=x被椭圆C截得的线段长为

  8

  3

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）直线l是圆O：x²+y²=r²的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：
  （i）圆O的方程；
  （ⅱ）|AB|的最大值．
  组卷：167引用：3难度：0.3

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