2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知函数f（x）=cos2x,则f（x）的导数f′（x）=（　　）

  A．sin2x

  B．2sin2x

  C．-sin2x

  D．-2sin2x
  组卷：122引用：4难度：0.8

  解析

• 2．若

  C

  x

  20

  =

  C

  3

  x

  -

  4

  20

  ，则实数x的值为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．2或6
  组卷：243引用：6难度：0.8

  解析

• 3．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为

  1

  3

  ，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D（X）=（　　）

  A． 2 3

  B． 4 3

  C．2

  D．4
  组卷：229引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_m+n=a_ma_n，则S₅=（　　）

  A．64

  B．62

  C．32

  D．30
  组卷：189引用：4难度：0.8

  解析

• 5．在（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）⁹的展开式中，x³的系数为（　　）

  A．120

  B．210

  C．720

  D．5040
  组卷：137引用：8难度：0.7

  解析

• 6．某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N（50，9），且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（　　）
  （附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）

  A．270

  B．2275

  C．2410

  D．4550
  组卷：196引用：6难度：0.7

  解析

• 7．已知离散型随机变量X的分布列为P（X=n）=

  a

  n

  +

  n

  +

  1

  （n=1，2，……，15），其中a为常数，则P（X≤8）=（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 3 4

  D． 4 5
  组卷：194引用：5难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题满分70分，其它每道小题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m³）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．
  （表中

  u

  i

  =

  1

  x

  i

  ，

  u

  =

  1

  9

  9

  ∑

  i

  =

  1

  u

  i

  ）．
  

  x	y	u	9 ∑ i = 1 （ x i - x ） 2	9 ∑ i = 1 （ u i - u ） 2	9 ∑ i = 1 （ y i - y ） 2	9 ∑ i = 1 （ x i - x ） （ y i - y ）	9 ∑ i = 1 （ u i - u ） （ y i - y ）
  6	97.90	0.21	60	0.14	14.12	26.13	-1.40

  （Ⅰ）利用样本相关系数的知识，判断y=a+bx与

  y

  =

  c

  +

  d

  x

  哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
  （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果回答下列问题：
  （i）建立y关于x的回归方程；
  （ii）样本对原点的距离x=20时，金属含量的预报值是多少？
  （Ⅲ）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x,y关系为W=100（y-lnx）（1≤x≤100），根据（Ⅱ）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
  参考公式：（1）样本相关系数

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  
  （2）对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

  ̂

  y

  =

  ̂

  b

  x

  +

  ̂

  a

  的斜率和截距的最小二乘估计分别为

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  y

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  -

  n

  x

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  y

  -

  ̂

  b

  x

  ．
  组卷：78引用：1难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=ln

  1

  x

  -ax²+x（a＞0）．
  （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
  （Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．
  组卷：233引用：10难度：0.3

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