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2022-2023学年陕西省西安市长安七中高二（下）期中数学试卷

发布：2024/6/21 8:0:10

一、选择题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f（x）=x³+1在区间[1，2]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．7 D．9
组卷：214引用：6难度：0.8
解析
2．已知复数z=（1-3i）（2+i），则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：26引用：6难度：0.8
解析
3．有一段演绎推理：“对数函数是单调函数，f（x）=log₂（-x）是对数函数，所以f（x）=log₂（-x）是单调函数”．对于以上推理说法正确的是（　　）
A．大前提错误，但结论正确
B．小前提错误，但结论正确
C．推理形式错误，导致结论错误
D．小前提错误，导致结论错误
组卷：5引用：1难度：0.8
解析
4．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点为（　　）
A．x₁和x₄ B．x₂ C．x₃ D．x₅
组卷：171引用：8难度：0.7
解析
5．i+i²+i³+⋯+i²⁰²³=（　　）
A．-1 B．-i C．0 D．1
组卷：13引用：1难度：0.8
解析
6．已知函数f（x）=sin2x-x,则在下列区间上，f（x）单调递增的是（　　）
A．
（
-
π
3
，
0
）
B．
（
0
，
π
6
）
C．
（
π
6
，
π
3
）
D．
（
π
3
，
π
2
）
组卷：68引用：7难度：0.6
解析
7．类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的．在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,则△ABC外接圆的半径
r
=
a
2
+
b
2
2
，由此类比，在四面体ABCD中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是a,b,c,则该四面体外接球的半径为（　　）
A．
a
2
+
b
2
+
c
2
3
B．
a
2
+
b
2
+
c
2
2
C．
3
a
3
+
b
3
+
c
3
3
D．
3
a
2
+
b
2
+
c
2
3
组卷：4引用：1难度：0.5
解析

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三、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．设数列{a_n}满足a₁=5，2a_n+1=a_n+2n+7．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法加以证明；
（2）若数列
{
1
a
n
a
n
+
1
}
的前n项和为T_n，证明：
T
n
＜
1
10
．
组卷：33引用：1难度：0.5
解析
22．定义：若函数y=f（x）在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）成立，其中k为大于0的常数，则称点（x₀，k）为函数f（x）的k级“平移点”．
（1）判断函数g（x）=xln（x+1）的2级“平移点”的个数，并求出2级“平移点”；
（2）若函数h（x）=ax²+xlnx在[1，+∞）上存在1级“平移点”，求实数a的取值范围．
组卷：32引用：5难度：0.4
解析