2023-2024学年上海市长宁区延安中学高三（上）开学数学试卷（9月份）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．集合M={x|x-4＜1，x∈N}，则M中元素的个数为

  ．
  组卷：22引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知随机变量X～N（1，4），若P（X＜a+3）=P（X＞2a-4），则实数a的值为

  ．
  组卷：63引用：1难度：0.7

  解析

• 3．若

  sin

  （

  π

  4

  +

  α

  ）

  =

  1

  2

  ，则sinα+cosα=

  ．
  组卷：63引用：3难度：0.7

  解析

• 4．若

  lo

  g

  x

  （

  2

  x

  ）

  =

  4

  ，则x=

  ．
  组卷：52引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知直线l₁：2ax+y+1=0与直线l₂：（a-1）x-ay+2=0垂直，则实数a的值为

  ．
  组卷：150引用：7难度：0.9

  解析

• 6．已知复数z=a+bi,其中a∈{-2，0，1}，b∈{0，1，4，9}，则复数z=a+bi是纯虚数的概率为

  ．
  组卷：59引用：4难度：0.8

  解析

• 7．在（3x-

  1

  x

  ）ⁿ的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则展开式中的常数项为

  ．
  组卷：380引用：8难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）规定内写出必要的步骤.

• 20．已知A₁（-2，0），A₂（2，0）分别是椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右顶点，过A₁作两条互相垂直的直线A₁M，A₁N，分别交椭圆C于M，N两点，△A₁MA₂面积的最大值为

  2

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若直线A₂M与A₁N交于点P，直线A₂N与A₁M交于点Q．
  ①求直线PQ的方程；
  ②记△MNA₁，△PQA₁的面积分别为S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最大值．
  组卷：219引用：4难度：0.6

  解析

• 21．设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
  （Ⅰ）判断函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  sinx

  4

  是否是集合M中的元素，并说明理由；
  （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m,n]⊆D，都存在x₀∈[m,n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
  （Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．
  组卷：520引用：10难度：0.5

  解析