2022-2023学年上海市杨浦高级中学高一（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

• 1．直线

  3

  x

  -

  y

  +

  5

  =

  0

  的倾斜角是

  ．
  组卷：170引用：9难度：0.9

  解析

• 2．设i是虚数单位，则复数

  1

  -

  3

  i

  1

  +

  i

  的虚部为

   

  ．
  组卷：162引用：4难度：0.7

  解析

• 3．已知i为虚数单位，

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  ，则z的辐角主值为

  ．
  组卷：45引用：1难度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=5，则

  AB

  •

  BC

  =

  ．
  组卷：63引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知|

  a

  |=2，|

  b

  |=3，且

  a

  、

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，则|

  a

  -

  b

  |=

  ．
  组卷：95引用：2难度：0.9

  解析

• 6．已知向量

  a

  =

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，则向量

  a

  ，

  b

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：45引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

• 18．如图，在△ABC中，

  ∠

  BAC

  =

  π

  3

  ，D为AB中点，P为CD上一点，且满足

  AP

  =

  t

  AC

  +

  1

  3

  AB

  ，△ABC的面积为

  3

  3

  2

  ，
  （1）求t的值；
  （2）求

  |

  AP

  |

  的最小值．
  组卷：357引用：3难度：0.5

  解析

• 19．已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l₁、l₂均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l₁、l₂是一组“P_λ共轭线对”，如直线l₁：y=2x和

  l

  2

  ：

  y

  =

  -

  1

  2

  x

  是一组“O_-1共轭线对”，其中O是坐标原点．
  （1）已知l₁：x+y=0，且l₁、l₂是一组“O_-3共轭线对”，求l₁、l₂的夹角；
  （2）已知点A（0，1）、点B（-1，0）和点C（1，0）分别是三条直线PQ、QR、RP上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线PR、PQ是“P₁共轭线对”，直线QP、QR是“Q₄共轭线对”，直线RP、RQ是“R₉共轭线对”，求点P的坐标；
  （3）已知直线l₁：mx+y+m+1=0过定点Q，直线l₁、l₂是“Q_-1共轭线对”，当实数m变化时，求原点O到直线l₁、l₂的距离之积的取值范围．
  组卷：47引用：3难度：0.5

  解析