2021-2022学年北京大学附中高二 （下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）

• 1．已知集合A=（1，3]，N表示自然数集，则A∩N=（　　）

  A．{1，2}

  B．{1，2，3}

  C．{2}

  D．{2，3}
  组卷：28引用：1难度：0.8

  解析

• 2．设复数z满足（4+5i）z=1，则z在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：64引用：1难度：0.7

  解析

• 3．抛物线y²=2x的焦点到准线的距离为（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：131引用：16难度：0.9

  解析

• 4．不等式log₂x+log₂（x-1）＞1的解集是（　　）

  A．（-∞，-1）∪（2，+∞）	B．（-∞，-1）
  C．（2，+∞）	D．（1，+∞）
  组卷：113引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知f（x）=x³-3x,则x₁+x₂=0是f（x₁）+f（x₂）=0的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分又不必要条件
  组卷：344引用：7难度：0.6

  解析

• 6．将定义域为R的奇函数y=f（x）的图像上所有点向右平移一个单位，再将得到的图形上所有点的横坐标变为原来的

  1

  2

  倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，下列等式一定成立的是（　　）

  A．g（-1）=0

  B． g （ - 1 2 ） = 0

  C． g （ 1 2 ） = 0

  D．g（1）=0
  组卷：56引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知圆x²+y²=10与圆x²+y²-2ax-4ay-5=0相交，则a的取值可能是（　　）

  A． - 2 3

  B． - 2 4

  C． - 2 6

  D． - 2 8
  组卷：245引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（共6小题，85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  ax

  +

  a

  2

  -

  1

  x

  2

  +

  1

  ，其中a＞0．
  （1）若a=1，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
  （2）讨论f（x）的单调性；
  （3）如果对任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1，求a的取值范围．
  组卷：145引用：1难度：0.2

  解析

• 21．“更相减损之术”是中国古代数学专著《九章算术》中提到的用来求两个正整数的最大公约数的算法．任给两个正整数a,b,构造一个数列{a_n}，使得a₁=a,a₂=b,且对任意正整数n,a_n+2=|a_n+1-a_n|．可以证明{a_n}中一定存在为0的项，且第一个为0的项的前一项就是a,b的最大公约数．
  类似地，任给两个正整数a,b,构造数列{b_n}，使得b₁=a,b₂=b,且对任意正整数n,b_n+2=|b_n+1-2b_n|．
  （1）若a=1，b=2，写出b₃，b₄，b₁₀₀的值；
  （2）{b_n}是否有可能是递增数列？请对你的结论给出证明；
  （3）证明：对任意的正整数a,b,要么{b_n}中不存在最大项，要么数列{b_n}从某一项起为常数．
  组卷：10引用：1难度：0.5

  解析