2023-2024学年吉林省长春二中高三（上）第一次调研数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={y|y=2^x-1，x∈R}，B={x|x²-x-2＜0}，则（　　）

  A．-1∈A

  B． 3 ∉B

  C．A∩（∁RB）=A

  D．A∪B=A
  组卷：61引用：7难度：0.9

  解析

• 2．命题“∃x∈[1，2]，x²-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（　　）

  A．a≥1

  B．a≥2

  C．a≥0

  D．a≤0
  组卷：43引用：6难度：0.7

  解析

• 3．若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m,g（x）=log_ax+x-4的零点为n,则

  1

  m

  +

  1

  n

  的取值范围是（　　）

  A． （ 7 2 ， + ∞ ）

  B．[1，+∞）

  C．（4，+∞）

  D． （ 9 2 ， + ∞ ）
  组卷：291引用：28难度：0.9

  解析

• 4．已知奇函数f（x+3）的定义域为R，若f（x+2）=-f（x），则f（2019）=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．0

  D．3
  组卷：45引用：3难度：0.7

  解析

• 5．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式C=Wlog₂（1+

  S

  N

  ）是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中

  S

  N

  叫做信噪比．若不改变带宽W．而将信噪比

  S

  N

  从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（　　）
  参考数据：log₂3=1.58，log₂5=2.32．

  A．2.4倍

  B．2.3倍

  C．2.2倍

  D．2.1倍
  组卷：249引用：8难度：0.5

  解析

• 6．若存在正实数y,使得

  y

  -

  x

  xy

  =

  5

  x

  +

  4

  y

  ，则实数x的最大值为（　　）

  A． 1 5

  B． 5 4

  C．1

  D．4
  组卷：251引用：3难度：0.6

  解析

• 7．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x₀，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀）且f（x₀）=g（x₀），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  px

  +

  q

  （

  p

  ,

  q

  ∈

  R

  ）

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  x

  是定义在区间

  x

  ∈

  [

  1

  2

  ，

  2

  ]

  上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间

  x

  ∈

  [

  1

  2

  ，

  2

  ]

  上的最大值为（　　）

  A． 3 2

  B．2

  C．4

  D． 5 4
  组卷：351引用：15难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知函数f（x）=

  lnx

  +

  1

  x

  +a（x-1）．
  （1）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
  （2）若实数x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不等实根，证明：x₁x₂＞e.
  组卷：204引用：2难度：0.1

  解析

• 22．已知函数f（x）=axlnx-x（a∈R）．
  （1）若

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ]

  ，f（x）≥-1，求a的取值范围；
  （2）当a=1时，记函数g（x）=ln（x+1）-f（x）的最大值为M，证明：M＜2．
  组卷：63引用：4难度：0.4

  解析