2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

• 1．直线

  3

  x-y+1=0的倾斜角为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  组卷：1922引用：47难度：0.9

  解析

• 2．下列结论正确的是（　　）

  A．事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1

  B．若P（A）=0.999，则A为必然事件

  C．一批灯泡的合格率是99%，从这批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是99%

  D．若P（A）=0.001，则A为不可能事件
  组卷：82引用：1难度：0.7

  解析

• 3．经过点（-1，2）并且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程是（　　）

  A．x-2y+5=0

  B．x-2y+3=0

  C．x+2y-3=0

  D．x+2y+5=0
  组卷：103引用：5难度：0.5

  解析

• 4．已知事件A，B，C两两互斥，若

  P

  （

  A

  ）

  =

  1

  5

  ，

  P

  （

  C

  ）

  =

  1

  3

  ，

  P

  （

  A

  ∪

  B

  ）

  =

  8

  15

  ，则P（B∪C）=（　　）

  A． 8 15

  B． 2 3

  C． 7 15

  D． 1 3
  组卷：175引用：3难度：0.9

  解析

• 5．圆心在x轴上，并且过点A（-1，3）和B（1，1）的圆的标准方程是（　　）

  A．（x+4）2+y2=18	B．（x+3）2+y2=10
  C．（x-2）2+y2=10	D．（x+2）2+y2=10
  组卷：148引用：5难度：0.7

  解析

• 6．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率是（　　）

  A． 5 6

  B． 3 4

  C． 2 3

  D． 4 5
  组卷：82引用：3难度：0.8

  解析

• 7．在棱长为1的正四面体S-ABC中，SG⊥平面ABC于G，O是SG的中点，则下列结论错误的是（　　）

  A． OA • OB = 0	B． SA • OC = - 1 6
  C． OA • OS = - 1 6	D． OG = 1 3 （ OA + OB + OC ）
  组卷：64引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知直线l：（2λ+1）x+（λ+1）y-7λ-4=0（λ∈R）和以点C为圆心的圆（x-4）²+y²=4．
  （1）求证：直线l恒过定点；
  （2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长；
  （3）设l恒过定点A，点P满足

  |

  PA

  |

  |

  PO

  |

  =

  2

  ，记以点P、O（坐标原点）、A、C为顶点的四边形为Γ，求四边形Γ面积的最大值，并求取得最大值时点P的坐标．
  组卷：80引用：6难度：0.5

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• 22．如图，四面体ABCD中，AD=CD，AD⊥CD，AC=2，AB=3，∠CAB=

  π

  3

  ，E为AB上的点，且AC⊥DE，DE与平面ABC所成角为

  π

  6

  ．
  （1）求三棱锥D-BCE的体积；
  （2）求平面BCD与平面CDE夹角的余弦值．
  组卷：56引用：1难度：0.3

  解析