2022-2023学年湖北省荆州中学高三（上）第二次月考数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．复数z=（2+i）（1+2i）（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（　　）

  A．（5，0）

  B．（0，5）

  C．（4，5）

  D．（-4，5）
  组卷：70引用：4难度：0.8

  解析

• 2．已知|

  a

  |=3，|

  b

  |=2，

  a

  与

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，则|2

  a

  -3

  b

  |=（　　）

  A．6

  B． 3 6

  C． 3 6 - 3 2

  D． 3 2
  组卷：145引用：7难度：0.7

  解析

• 3．若点P是双曲线

  C

  1

  ：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  12

  =

  1

  上一点，F₁，F₂分别为C₁的左、右焦点，则“|PF₂|=5”是“|PF₁|=9”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：30引用：4难度：0.7

  解析

• 4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（　　）

  A． 4 7

  B． 1 2

  C． 3 7

  D． 1 35
  组卷：61引用：9难度：0.7

  解析

• 5．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l,点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且

  PF

  =

  2

  FM

  ，则点P到准线l的距离为（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：68引用：3难度：0.6

  解析

• 6．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  sinx

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  的图象大致为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：158引用：7难度：0.8

  解析

• 7．已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P-ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为（　　）

  A． 3

  B． 3 2 3

  C． 9 3 4

  D． 3 2
  组卷：171引用：6难度：0.6

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．设椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，

  F

  1

  ，

  F

  2

  为左、右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c,且b＞c,△BF₁F₂的面积为

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程
  （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x=4相交于点N．试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
  组卷：578引用：10难度：0.3

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  +

  alnx

  -

  （

  a

  +

  1

  ）

  x

  ，其中a∈R．
  （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
  （Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+（a-1）x有两个极值点x₁，x₂，且

  F

  （

  x

  1

  ）

  +

  F

  （

  x

  2

  ）

  ＞

  -

  2

  e

  -

  2

  恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．
  组卷：319引用：8难度：0.3

  解析