已知函数
f
（
x
）
=
1
2
x
2
+
alnx
-
（
a
+
1
）
x
，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+（a-1）x有两个极值点x₁，x₂，且
F
（
x
1
）
+
F
（
x
2
）
＞
-
2
e
-
2
恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
0＜a＜1时，f（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，
a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
a＞1时，f（x）在（0，1）递增，在（1，a）递减，在（a，+∞）递增；
（Ⅱ）（0，

）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/8/5 8:0:8组卷：319引用：8难度：0.3

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

已知函数f（x）=12x2+alnx-（a+1）x，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+（a-1）x有两个极值点x1，x2，且F（x1）+F（x2）＞-2e-2恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．