2023-2024学年云南省昆明三中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

• 1．同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是（　　）

  A． 1 3

  B． 1 4

  C． 1 6

  D． 1 12
  组卷：40引用：3难度：0.7

  解析

• 2．若椭圆

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  =

  1

  上一点A到焦点F₁的距离为2，则点A到焦点F₂的距离为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：202引用：5难度：0.7

  解析

• 3．已知

  1

  +

  cos

  2

  α

  sin

  2

  α

  =3，则tanα=（　　）

  A．2

  B．3

  C． 1 2

  D． 1 3
  组卷：384引用：4难度：0.9

  解析

• 4．若O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，则异面直线BB₁与OC所成角的余弦值为（　　）

  A． 3 3

  B． 2 3

  C． 6 3

  D． 3 5
  组卷：24引用：3难度：0.6

  解析

• 5．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（　　）

  A． 3 3

  B． 3

  C． 3 2

  D． 2 3 3
  组卷：146引用：5难度：0.6

  解析

• 6．在圆M：x²+y²-4x+2y-4=0内，过点O（0，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

  A．24

  B．12

  C．10

  D．8
  组卷：144引用：6难度：0.6

  解析

• 7．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的面积为80π，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为

  -

  16

  25

  ，记椭圆C的两个焦点分别为F₁，F₂，则|PF₁|的值不可能为（　　）

  A．4

  B．8

  C．14

  D．18
  组卷：73引用：3难度：0.5

  解析

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的离心率为2，点P（2，3）在E上，F为E的右焦点．
  （1）求双曲线E的方程；
  （2）设Q为E的左顶点，过点F作直线l交E于A，B（A，B不与Q重合）两点，点M是AB的中点，求证：|AB|=2|MQ|．
  组卷：259引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知圆A₁：（x+1）²+y²=16，直线l₁过点A₂（1，0）且与圆A₁交于点B，C，线段BC的中点为D，过A₂C的中点E且平行于A₁D的直线交A₁C于点P，记P的轨迹为Γ．
  （1）求Γ的方程；
  （2）坐标原点O关于A₁，A₂的对称点分别为B₁，B₂，点A₁，A₂关于直线y=x的对称点分别为C₁，C₂，过A₁的直线l₂与Γ交于点M，N，直线B₁M与B₂N相交于点Q．求证：△QC₁C₂的面积是定值．
  组卷：139引用：1难度：0.3

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