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2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高三（上）开学数学试卷

发布：2024/8/5 8:0:8

一、单选题（40分）

1．已知复数
z
=
i
3
1
-
i
（i是虚数单位），则|z|=（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
组卷：37引用：4难度：0.8
解析
2．如图所示的△ABC中，点D、E分别在边BC、AD上，且BD=DC，ED=2AE，则向量
AE
=（　　）
A．
1
3
AB
+
1
6
AC
B．
1
6
AB
+
2
5
AC
C．
1
6
AB
+
5
6
AC
D．
1
6
AB
+
1
6
AC
组卷：70引用：1难度：0.9
解析
3．函数f（x）的定义域为（a,b），导函数f′（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a,b）内有极小值点（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
组卷：1234引用：50难度：0.7
解析
4．将半径为3圆心角为
4
π
3
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）
A．
16
5
π
75
B．
32
5
π
75
C．
16
π
5
D．
32
5
π
25
组卷：224引用：3难度：0.8
解析
5．已知数列{a_n}满足a₁+
1
2
a
2
+
1
3
a₃+…+
1
n
a
n
=n²+n（n∈N*），设数列{b_n}满足：b_n=
2
n
+
1
a
n
a
n
+
1
，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜
n
n
+
1
λ（n∈N*）恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）
A．[
1
4
，+∞） B．（
1
4
，+∞） C．[
3
8
，+∞） D．（
3
8
，+∞）
组卷：1620引用：16难度：0.1
解析
6．若函数
f
（
x
）
=
3
sinωx
+
cosωx
（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（　　）
A．
（
0
，
1
12
]
∪
[
1
4
，
2
3
]
B．
（
0
，
1
6
]
∪
[
1
3
，
2
3
]
C．
[
1
4
，
2
3
]
D．
[
1
3
，
2
3
]
组卷：422引用：3难度：0.5
解析
7．1988年3月14日，LanyShaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以元为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（π日）．历史上，求圆周率π的方法有多种，其中的一种方法：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正10n边形的周长和外切正10n边形的周长，将它们的算术平均数作为π的近似值．按照这种方法，π的近似值的表达式是（　　）
A．
10
n
（
sin
18
°
n
+
tan
18
°
n
）
B．
5
n
（
sin
18
°
n
+
tan
18
°
n
）
C．
10
n
（
sin
36
°
n
+
tan
36
°
n
）
D．
5
n
（
sin
36
°
n
+
tan
36
°
n
）
组卷：34引用：5难度：0.8
解析

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四、解答题（70分）

21．北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式
v
=
v
0
•
ln
M
m
计算火箭的最大速度v（单位：m/s），其中v₀（单位：m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，
M
m
称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的
3
2
倍，总质比变为原来的
1
3
，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．
组卷：26引用：2难度：0.6
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
x
2
+
1
x
-
alnx
（
a
＞
0
）
．注：e为自然对数的底数，e=2.71828⋯．
（1）若
a
=
3
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个不相等的零点x₁，x₂，极值点为x₀，证明：
（i）e＜a＜x₀＜a+1；
（ii）x₁+x₂＞2a.
组卷：43引用：3难度：0.2
解析

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A．（ 0 ， 1 12 ] ∪ [ 1 4 ， 2 3 ]	B．（ 0 ， 1 6 ] ∪ [ 1 3 ， 2 3 ]
C． [ 1 4 ， 2 3 ]	D． [ 1 3 ， 2 3 ]

A． 10 n （ sin 18 ° n + tan 18 ° n ）	B． 5 n （ sin 18 ° n + tan 18 ° n ）
C． 10 n （ sin 36 ° n + tan 36 ° n ）	D． 5 n （ sin 36 ° n + tan 36 ° n ）

2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高三（上）开学数学试卷

一、单选题（40分）

1．已知复数z=i31-i（i是虚数单位），则|z|=（ ）

2．如图所示的△ABC中，点D、E分别在边BC、AD上，且BD=DC，ED=2AE，则向量AE=（ ）

3．函数f（x）的定义域为（a,b），导函数f′（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a,b）内有极小值点（ ）

4．将半径为3圆心角为4π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）

5．已知数列{an}满足a1+12a2+13a3+…+1nan=n2+n（n∈N*），设数列{bn}满足：bn=2n+1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜nn+1λ（n∈N*）恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）

6．若函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（ ）

四、解答题（70分）

22．已知函数f（x）=x2+1x-alnx（a＞0）．注：e为自然对数的底数，e=2.71828⋯．（1）若a=32，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2，极值点为x0，证明：（i）e＜a＜x0＜a+1；（ii）x1+x2＞2a.

1．已知复数
z
=
i
3
1
-
i
（i是虚数单位），则|z|=（　　）

2．如图所示的△ABC中，点D、E分别在边BC、AD上，且BD=DC，ED=2AE，则向量
AE
=（　　）

3．函数f（x）的定义域为（a,b），导函数f′（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a,b）内有极小值点（　　）

4．将半径为3圆心角为
4
π
3
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）

5．已知数列{a_n}满足a₁+
1
2
a
2
+
1
3
a₃+…+
1
n
a
n
=n²+n（n∈N），设数列{b_n}满足：b_n=
2
n
+
1
a
n
a
n
+
1
，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜
n
n
+
1
λ（n∈N）恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

6．若函数
f
（
x
）
=
3
sinωx
+
cosωx
（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（　　）