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2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高一（下）月考数学试卷（6月份）

发布：2024/8/11 1:0:1

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z=ai+b（a,b∈R）是纯虚数的充分不必要条件是（　　）
A．a≠0且b=0 B．b=0 C．a=1且b=0 D．a=b=0
组卷：173引用：6难度：0.7
解析
2．已知第二象限角α的终边与单位圆交于
P
（
m
,
3
5
）
，则sin2α=（　　）
A．
-
12
25
B．
-
24
25
C．
12
25
D．
24
25
组卷：105引用：5难度：0.7
解析
3．已知菱形ABCD边长为1，∠BAD=60°，则
BD
•
DC
=（　　）
A．
3
2
B．
-
3
2
C．
1
2
D．
-
1
2
组卷：183引用：2难度：0.8
解析
4．已知直线l及三个互不重合的平面α，β，γ，下列结论错误的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
组卷：99引用：4难度：0.7
解析
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）
A．
1
2
B．-
1
2
C．
3
2
D．-
3
2
组卷：554引用：20难度：0.7
解析
6．欧拉公式e^ix=cosx+isinx（其中e是自然对数的底，i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将
e
2
π
3
i
所表示的复数记为z,则
z
=（　　）
A．
1
2
+
3
2
i
B．
1
2
-
3
2
i
C．
-
1
2
+
3
2
i
D．
-
1
2
-
3
2
i
组卷：23引用：3难度：0.8
解析

7．已知函数
f
（
x
）
=
2
cos
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
的部分图象如下所示，其中
A
（
π
12
，
2
）
，
B
（
7
π
12
，
0
）
，为了得到g（x）=2sin2x的图象，需将（　　）

A．函数f（x）的图象的横坐标伸长为原来的

倍后，再向左平移

个单位长度

B．函数f（x）的图象的横坐标缩短为原来的

后，再向右平移

个单位长度

C．函数f（x）的图象向左平移

个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的

倍

D．函数f（x）的图象向右平移

个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的

倍

组卷：258引用：5难度：0.8

解析

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四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
BC
=
2
AD
=
2
AB
=
2
2
，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．

（1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A-BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用θ表示），详细说明理由；
（2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得
AP
PB
=
NQ
QD
=
λ
（
λ
∈
R
）
，令PQ与BD和AN所成的角分别为θ₁和θ₂，求sinθ₁+sinθ₂的取值范围．
组卷：86引用：4难度：0.4
解析
22．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．
组卷：1293引用：7难度：0.5
解析

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2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高一（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z=ai+b（a,b∈R）是纯虚数的充分不必要条件是（ ）

2．已知第二象限角α的终边与单位圆交于P（m,35），则sin2α=（ ）

3．已知菱形ABCD边长为1，∠BAD=60°，则BD•DC=（ ）

4．已知直线l及三个互不重合的平面α，β，γ，下列结论错误的是（ ）

5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）

7．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如下所示，其中A（π12，2），B（7π12，0），为了得到g（x）=2sin2x的图象，需将（ ）

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．（Ⅲ）求二面角A-A1C-B的正弦值．

1．复数z=ai+b（a,b∈R）是纯虚数的充分不必要条件是（　　）

2．已知第二象限角α的终边与单位圆交于
P
（
m
,
3
5
）
，则sin2α=（　　）

3．已知菱形ABCD边长为1，∠BAD=60°，则
BD
•
DC
=（　　）

4．已知直线l及三个互不重合的平面α，β，γ，下列结论错误的是（　　）

5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）

7．已知函数
f
（
x
）
=
2
cos
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
的部分图象如下所示，其中
A
（
π
12
，
2
）
，
B
（
7
π
12
，
0
）
，为了得到g（x）=2sin2x的图象，需将（　　）

22．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．