2023-2024学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={1，2，3，4}，则（∁_RA）∩B=（　　）

  A．{1，2}

  B．{1，2，3}

  C．{3，4}

  D．{4}
  组卷：111引用：2难度：0.8

  解析

• 2．sinx=0是cosx=1的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：88引用：8难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=|x|sin2x的部分图象可能是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：130引用：2难度：0.8

  解析

• 4．下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

  A．y=2	B． y = sinx x
  C． y = lg （ 4 x 2 + 1 - 2 x ）	D． y = e x - e - x 2
  组卷：23引用：3难度：0.6

  解析

• 5．计算：

  （

  11

  10

  ）

  0

  +

  e

  ln

  2

  -

  lo

  g

  2

  1

  +

  lg

  10

  +

  ln

  e

  2

  +

  lo

  g

  4

  8

  的值（　　）

  A．0

  B． 15 2

  C．2

  D．3
  组卷：581引用：1难度：0.5

  解析

• 6．已知

  a

  =

  sin

  1

  3

  ，

  b

  =

  （

  1

  3

  ）

  0

  .

  9

  ，

  c

  =

  1

  2

  lo

  g

  27

  9

  ，则（　　）

  A．a＜c＜b

  B．a＜b＜c

  C．b＜a＜c

  D．c＜a＜b
  组卷：328引用：7难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

• 19．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，短轴长为2

  2

  ．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为k（k≠0）直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作与OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为

  2

  3

  ，求k的值．
  组卷：413引用：5难度：0.5

  解析

• 20．已知函数F（x）=

  lnx

  x

  -

  1

  -

  a

  x

  +

  1

  ．
  （Ⅰ）设函数h（x）=（x-1）F（x），当a=2时，证明：当x＞1时，h（x）＞0；
  （Ⅱ）若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
  （Ⅲ）若a使F（x）有两个不同的零点x₁，x₂，证明：2

  a

  2

  -

  2

  a

  ＜|x₂-x₁|＜e^a-e^-a．
  组卷：175引用：2难度：0.3

  解析