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2022-2023学年上海市金山中学、闵行中学、嘉定一中三校高二（下）联考数学试卷（5月份）

发布：2024/7/15 8:0:9

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1．若集合A={0，m}，B={1，2}，A∩B={1}，则实数m=
．
组卷：24引用：3难度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
1
，
x
）
，
b
=
（
4
，
2
）
，若
a
∥
b
，则实数x的值为
．
组卷：18引用：2难度：0.7
解析
3．函数y=（sinx+cosx）²的最小正周期是
．
组卷：567引用：17难度：0.9
解析
4．已知复数z满足（1+i）z=4i（i为虚数单位），则z=
．
组卷：20引用：4难度：0.9
解析
5．已知某圆锥的高为4，底面积为9π，则该圆锥的侧面积为
．
组卷：63引用：4难度：0.7
解析
6．计算：
+
∞
∑
i
=
1
1
3
i
=
．
组卷：10引用：2难度：0.9
解析
7．已知函数
f
（
x
）
=
1
x
，则
lim
Δ
x
→
0
f
（
2
+
Δ
x
）
-
f
（
2
）
Δ
x
=
．
组卷：140引用：6难度：0.8
解析

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

20．把右半个椭圆
C
1
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（
x
≥
0
）
和圆弧
C
2
：
（
x
-
1
）
2
+
y
2
=
4
（
x
＜
0
）
合成的封闭曲线Γ称为“曲圆”，“曲圆”与x轴的左、右交点依次记为A₁、A₂，与y轴的上、下交点依次记为B₁、B₂，过椭圆的右焦点F的直线l与“曲圆”交于P、Q两点．
（1）当点Q与B₂重合时，求△A₁PQ的周长；
（2）当P、Q两点都在半椭圆C₁时，是否存在以PQ为直径的圆恰好经过点A₁？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由；
（3）当点P在第一象限时，求△A₁PQ的面积的最大值．
组卷：74引用：2难度：0.3
解析
21．已知曲线y=f（x），x∈D在点A（x₀，f（x₀））处的切线为l₀，若曲线y=f（x）上存在异于A的点P（x₁，f（x₁）），使曲线y=f（x）在点P处的切线l₁与l₀重合，则称P为曲线y=f（x）关于A的“公切点”；若曲线y=f（x）上存在Q（x₂，f（x₂）），使曲线y=f（x）在Q处的切线l₂与l₀垂直，则称Q为曲线y=f（x）关于A的“正交点”．
（1）求曲线
f
（
x
）
=
1
2
x
2
关于A（2，2）的“正交点”；
（2）若
f
（
x
）
=
-
1
8
sin
2
x
-
cosx
-
1
4
x
，x∈[0，2π]，已知曲线y=f（x）上存在关于A（x₀，f（x₀））的“正交点”，求x₀的取值集合；
（3）已知
f
（
x
）
=
lnx
,
x
＞
0
e
x
+
a
,
x
＜
0
，若对任意x₀∈（1，e），曲线y=f（x）上都存在关于A（x₀，f（x₀））的“正交点”，求实数a的取值范围．
组卷：13引用：2难度：0.3
解析