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2022-2023学年江苏省泰州中学高一（下）月考数学试卷（5月份）

发布：2024/5/19 8:0:9

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数z满足（z-1）i=1+2i,则复数z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：132引用：4难度：0.8
解析
2．在△ABC中，若
BC
=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，且
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
a
，则△ABC的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对
组卷：132引用：3难度：0.7
解析
3．已知α是第一象限的角，且
cosα
=
5
13
，求
sin
（
α
-
π
4
）
cos
（
2
α
+
3
π
）
的值为（　　）
A．
13
2
34
B．
-
13
2
34
C．
13
2
14
D．
-
13
2
14
组卷：151引用：2难度：0.8
解析
4．如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成
θ
（
θ
≠
π
2
）
角的两条数轴，
e
1
，
e
2
分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若
OM
=
x
e
1
+
y
e
2
，则把有序数对（x,y）叫做向量
OM
的斜坐标，记为
OM
=
（
x
,
y
）
．在
θ
=
π
4
的斜坐标系中，
a
=
（
1
2
，
3
2
）
，
b
=
（
3
，-
1
）
．则下列结论中，错误的是（　　）
①
a
-
b
=
（
1
2
-
3
，
3
2
+
1
）
；
②
|
a
|
=
1
；
③
a
⊥
b
；
④
b
在
a
上的投影为
-
2
．
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
组卷：25引用：2难度：0.8
解析
5．如图，在半径为R、圆心角为
π
3
的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为（　　）
A．
（
2
-
3
）
R
2
B．
3
6
R
2
C．
3
4
R
2
D．
3
3
R
2
组卷：87引用：2难度：0.6
解析
6．m,n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n,
③若α∩β=m,n⊂α，n⊥m,则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m,
其中正确的结论个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
组卷：63引用：4难度：0.4
解析
7．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=6，AB=8，则四棱锥P-ABCD的外接球与内切球的表面积之比为（　　）
A．
41
2
B．
41
4
C．3 D．
11
2
组卷：563引用：6难度：0.4
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,
cos
A
cos
C
=
-
3
a
2
b
+
3
c
，点D是边BC上的一点，且
sin
∠
BAD
b
+
sin
∠
CAD
c
=
3
2
a
．
（1）求证：
AD
=
a
3
；
（2）若CD=2BD，求cos∠ADC．
组卷：191引用：4难度：0.4
解析
22．如图1，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥BC，AD=5，BC=8，CD=4，边BC上一点E满足3
BE
=5
EC
．现在沿着AE将△ABE折起到△AB₁E位置，得到如图2所示的四棱锥B₁-AECD．

（1）证明：AE⊥B₁D；
（2）若M为棱B₁E的中点，试问线段CD上是否存在点N，使得MN⊥AE？若存在，求出此时DN的长；若不存在，请说明理由．
组卷：220引用：3难度：0.9
解析

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2022-2023学年江苏省泰州中学高一（下）月考数学试卷（5月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数z满足（z-1）i=1+2i,则复数z在复平面内对应的点在（ ）

2．在△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，且a•b=b•c=c•a，则△ABC的形状为（ ）

3．已知α是第一象限的角，且cosα=513，求sin（α-π4）cos（2α+3π）的值为（ ）

5．如图，在半径为R、圆心角为π3的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为（ ）

6．m,n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β，②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n,③若α∩β=m,n⊂α，n⊥m,则n⊥β，④若α⊥β，α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m,其中正确的结论个数为（ ）

7．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=6，AB=8，则四棱锥P-ABCD的外接球与内切球的表面积之比为（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,cosAcosC=-3a2b+3c，点D是边BC上的一点，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．（1）求证：AD=a3；（2）若CD=2BD，求cos∠ADC．

1．若复数z满足（z-1）i=1+2i,则复数z在复平面内对应的点在（　　）

2．在△ABC中，若
BC
=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，且
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
a
，则△ABC的形状为（　　）

3．已知α是第一象限的角，且
cosα
=
5
13
，求
sin
（
α
-
π
4
）
cos
（
2
α
+
3
π
）
的值为（　　）

5．如图，在半径为R、圆心角为
π
3
的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为（　　）

6．m,n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n,
③若α∩β=m,n⊂α，n⊥m,则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m,
其中正确的结论个数为（　　）

7．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=6，AB=8，则四棱锥P-ABCD的外接球与内切球的表面积之比为（　　）

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,
cos
A
cos
C
=
-
3
a
2
b
+
3
c
，点D是边BC上的一点，且
sin
∠
BAD
b
+
sin
∠
CAD
c
=
3
2
a
．
（1）求证：
AD
=
a
3
；
（2）若CD=2BD，求cos∠ADC．