2023-2024学年浙江省南太湖联盟高二（上）第一次联考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

• 1．已知集合A={x|x-1＞0}，集合B={x|x²-x-2＞0}，则A∪B=（　　）

  A．（-∞，2）	B．（-1，2）
  C．（-∞，-1）∪（1，+∞）	D．（-∞，-1）∪（2，+∞）
  组卷：108引用：7难度：0.9

  解析

• 2．若复数z满足（1+z）i=1-z,则z=（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-i

  D．i
  组卷：90引用：3难度：0.9

  解析

• 3．若m,n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法不正确的是（　　）

  A．若m∥α，m⊂β，α∩β=n,则m∥n

  B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

  C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m∩n=A，则α∥β

  D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
  组卷：35引用：3难度：0.6

  解析

• 4．如图，空间四边形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，点M在

  OA

  上，且OM=2MA，点N为BC中点，则

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  组卷：2451引用：155难度：0.9

  解析

• 5．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为S=2πRH，球缺的体积公式为

  V

  =

  1

  3

  π

  （

  3

  R

  -

  H

  ）

  H

  2

  ，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1：2，则这两个球缺的体积之比为（　　）

  A． 1 9

  B． 11 20

  C． 7 20

  D． 3 10
  组卷：223引用：8难度：0.6

  解析

• 6．已知向量

  m

  ，

  n

  ，且

  |

  m

  |

  =

  |

  n

  |

  =

  1

  ，

  |

  3

  m

  -

  2

  n

  |

  =

  7

  ，则向量

  m

  在向量

  n

  方向上的投影向量为（　　）

  A． 0

  B． 1 2 m

  C． 1 2 n

  D． - 1 2 n
  组卷：97引用：3难度：0.8

  解析

• 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）

  A．64m

  B．74m

  C．52m

  D．91m
  组卷：368引用：6难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应给出文字说明、证明过程。

• 21．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
  （1）证明：△PBC是直角三角形；
  （2）若

  PA

  =

  AB

  =

  2

  AC

  ，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
  组卷：51引用：3难度：0.5

  解析

• 22．如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km,OB=

  3

  3

  km,∠A=60°，∠AOB=90°，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．​
  （1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；
  （2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，

  0

  ＜

  θ

  ＜

  π

  3

  ，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．
  组卷：24引用：3难度：0.6

  解析