2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知复数

  z

  =

  3

  -

  i

  1

  +

  i

  ，则z的虚部为（　　）

  A．2

  B．2i

  C．-2

  D．-2i
  组卷：28引用：4难度：0.9

  解析

• 2．已知

  e

  1

  ，

  e

  2

  是两个不共线的向量，向量

  a

  =

  3

  e

  1

  -

  2

  e

  2

  ，

  b

  =

  k

  e

  1

  +

  e

  2

  ．若

  a

  ∥

  b

  ，则k=（　　）

  A． - 3 2

  B． 2 3

  C． 3 2

  D． - 2 3
  组卷：75引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均相等，点M为A₁B₁的中点，则异面直线AM与B₁C所成角的余弦值为（　　）

  A． 15 5

  B． 6 4

  C． 3 2

  D． 10 4
  组卷：93引用：4难度：0.5

  解析

• 4．下列说法不正确的是（　　）

  A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 61 11

  B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2

  C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6

  D．若样本数据x1，x2…x10的平均数为2，则数据2x1-1，2x2-1，…2x10-1的平均数为3
  组卷：87引用：3难度：0.6

  解析

• 5．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，

  AD

  =

  2

  ，AB=AC=3．则

  BC

  •

  BD

  =（　　）

  A． 3 2

  B． 5 2

  C． 9 2

  D． 3 2
  组卷：55引用：2难度：0.7

  解析

• 6．龙洗，古代中国盥洗用具，状貌像鼎，用青铜铸造，因盆内有龙纹而称之为龙洗，中国传说中也称作聚宝盆．其盆体可以近似看作一个圆台，现有一龙洗盆高12cm,盆口直径24cm,盆底直径12cm.现往盆内注水，当水深为4cm时，则盆内水的体积为（　　）

  A． 1184 3 πc m 3

  B． 592 3 πc m 3

  C． 896 3 πc m 3

  D． 1248 3 πc m 3
  组卷：52引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知A，B，C，D是同一个球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=3AB=18，则该球的表面积为（　　）

  A．372π

  B．396π

  C．432π

  D．1344π
  组卷：83引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且

  a

  -

  c

  b

  -

  2

  c

  =

  sin

  （

  A

  +

  C

  ）

  sin

  A

  +

  sin

  C

  ．
  （Ⅰ）求角A的大小；
  （Ⅱ）若

  a

  =

  2

  ，O为△ABC外接圆圆心，求

  |

  3

  OA

  +

  2

  OB

  +

  OC

  |

  的最小值；
  （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，P为△ABC外接圆上一动点，求

  PB

  •

  PC

  的最大值．
  组卷：103引用：1难度：0.2

  解析

• 22．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，

  AB

  =

  2

  +

  1

  ，CD=1．若点E、F均在AB上，且AE=BF．如图（一）所示，沿DE将△ADE折起，沿CF将△BCF折起，使A、B两点重合为S．
  
  （Ⅰ）若

  AE

  =

  BF

  =

  2

  2

  ，求证：平面SDE⊥平面SCF；
  （Ⅱ）若AD=1，O为AB中点，当E与F重合于O时，求SO与平面SCD所成角的余弦值；
  （Ⅱ）请设计一个翻折方案使四棱锥S-CDEF的外接球半径为

  2

  2

  ，证明你的结论，并求此方案下的AD的长度及∠DEF的大小．
  组卷：24引用：1难度：0.4

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