2022-2023学年山西省阳泉十一中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．下列命题中真命题的个数是（　　）
  ①温度、速度、位移、功都是向量
  ②零向量没有方向
  ③向量的模一定是正数
  ④直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：416引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知两个单位向量

  a

  ，

  b

  的夹角是120°，则

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D． 3
  组卷：232引用：4难度：0.8

  解析

• 3．设z₁=3+2i,z₂=1+mi（其中i为虚数单位），若z₁z₂为纯虚数，则实数m=（　　）

  A． 2 3

  B． - 2 3

  C． - 3 2

  D． 3 2
  组卷：137引用：5难度：0.7

  解析

• 4．下列说法正确的是（　　）

  A．直四棱柱是长方体

  B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

  C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体

  D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
  组卷：103引用：2难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，D为BC的中点，

  EB

  =

  3

  AE

  ，

  AF

  =

  2

  FC

  ，

  EF

  与AD交于点

  G

  ，

  AG

  =

  λ

  AD

  ，则λ=（　　）

  A． 1 2

  B． 4 11

  C． 4 9

  D． 2 3
  组卷：256引用：4难度：0.8

  解析

• 6．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．该“升”的容积约是（　　）（约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长．）

  A．1895.8cm3

  B．1894.8cm3

  C．1895.9cm3

  D．1894.9cm3
  组卷：33引用：2难度：0.5

  解析

• 7．已知向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  满足

  a

  =（3，0），

  b

  =（0，4），

  c

  =λ

  a

  +（1-λ）

  b

  （λ∈R），则|

  c

  |的最小值为（　　）

  A． 5 6

  B． 12 5

  C． 36 5

  D． 48 5
  组卷：454引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．△ABC中，AB=3，AC=4，A=60°，D，E分别在边AB，AC上，且AD=2DB，AE=EC．
  （1）求CD与BE所成锐角的余弦值；
  （2）在线段DE上是否存在一点M，使AM⊥BE．若存在，求

  DM

  DE

  的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：22引用：2难度：0.6

  解析

• 22．南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为r.
  （1）求图中四分之一圆柱体BB₁C₁-AA₁D₁的体积；
  （2）在图中画出四分之一圆柱体BB₁C₁-AA₁D₁与四分之一圆柱体AA₁B₁-DD₁C₁的一条交线（不要求说明理由）；
  （3）四分之一圆柱体BB₁C₁-AA₁D₁与四分之一圆柱体AA₁B₁-DD₁C₁公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点M在棱BB₁上，设MB₁=h.过点M作一个与正方体底面AC平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
  （4）如果令r=2，求出八分之一“牟合方盖”的体积．
  组卷：80引用：3难度：0.6

  解析