2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）开学数学试卷（9月份）

一、填空题（本大题共有12题，4*6+5*6=54）

• 1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合

  B

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  x

  +

  1

  }

  ，那么

  A

  ∩

  B

  =

  ．
  组卷：20引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：97引用：5难度：0.7

  解析

• 3．双曲线

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  9

  =

  1

  的焦点到渐近线的距离等于

  ．
  组卷：142引用：11难度：0.7

  解析

• 4．（x+1）⁸的二项式展开中，系数最大的项为

  ．
  组卷：37引用：3难度：0.7

  解析

• 5．方程log₂（9^x-1-5）=log₂（3^x-1-2）+2的解为

  ．
  组卷：5294引用：45难度：0.7

  解析

• 6．已知数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a₁、b₁，且a₁+b₁=5，a₁、b₁∈N^*，设c_n=

  a

  b

  n

  （n∈N^*），则数列{c_n}的前n项和等于

  ．
  组卷：59引用：4难度：0.5

  解析

• 7．若f（x）的值域为{0，1，2}，则g（x）=（f（x）-x）（f（x）-2x）至多有

  个零点．
  组卷：116引用：4难度：0.7

  解析

三、简答题（本大题共有5题，14*3+18*2=78）

• 20．已知函数f（x）=x²-ax-a,a∈R．
  （1）判断函数f（x）的奇偶性；
  （2）若函数F（x）=x•f（x）在x=1处有极值，且关于x的方程F（x）=m有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
  （3）记g（x）=-e^x（e是自然对数的底数）．若对任意x₁、x₂∈[0，e]且x₁＞x₂时，均有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数a的取值范围．
  组卷：513引用：10难度：0.4

  解析

• 21．已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
  （1）当m=1时，求椭圆C的方程；
  （2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
  （3）由抛物线弧y²=4mx

  （

  0

  ≤

  x

  ≤

  2

  m

  3

  ）

  和椭圆弧

  x

  2

  4

  m

  2

  +

  y

  2

  3

  m

  2

  =

  1

  （

  2

  m

  3

  ≤

  x

  ≤

  2

  m

  ）

  
  （m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．
  组卷：83引用：5难度：0.5

  解析