人教B版（2019）必修第四册《第十一章 立体几何初步》2021年单元测试卷（7）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，直线AD₁与直线DC₁的夹角等于（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：220引用：4难度：0.7

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• 2．已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

  A．36π

  B．52π

  C．56π

  D．224π
  组卷：500引用：5难度：0.6

  解析

• 3．已知直线a,b,平面α，β，下列命题（　　）
  ①若a∥b,a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；
  ③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．
  其中真命题是（　　）

  A．①②③

  B．①②④

  C．①③④

  D．①②③④
  组卷：195引用：2难度：0.5

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• 4．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（　　）

  A． 3 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D． 3 3 4
  组卷：570引用：7难度：0.7

  解析

• 5．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=12，则该球的表面积为（　　）

  A． 64 3 π

  B．96π

  C．192π

  D．48π
  组卷：246引用：7难度：0.6

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• 6．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm,现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为1g/cm³，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（　　）
  【参考数据】π≈3.14，

  2

  ≈

  1

  .

  41

  ，

  3

  ≈

  1

  .

  73

  ，

  6

  ≈

  2

  .

  45

  ．

  A．101g

  B．182g

  C．519g

  D．731g
  组卷：99引用：4难度：0.6

  解析

• 7．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是（　　）

  A．MN∥平面ABE

  B．MN∥平面ADE

  C．MN∥平面BDH

  D．MN∥平面CDE
  组卷：605引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．如图，四边形ABCD为矩形，且AD=4，

  AB

  =

  2

  2

  ，PA⊥平面ABCD，PA=2，E为BC的中点．
  （1）求证：PC⊥DE；
  （2）若M为PC的中点，求三棱锥M-PAB的体积．
  组卷：181引用：2难度：0.4

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• 22．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是

  π

  3

  ，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×

  π

  3

  =π，故其总曲率为4π．
  （1）求四棱锥的总曲率；
  （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数．
  组卷：460引用：6难度：0.6

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