2022-2023学年江苏省常州高级中学高三（上）月考数学试卷（1月份）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．集合A={x|2x+3＜7}，B={x∈N|x＞-2}，则A∩B=（　　）

  A．{0，1}

  B．{1}

  C．{0，1，2}

  D．{1，2}
  组卷：72引用：4难度：0.9

  解析

• 2．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）

  A．i（1+i）

  B．i（1-i）2

  C．i2（1+i）2

  D．i+i2+i3+i4
  组卷：148引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O₁在圆锥SO内，则球O₁的体积的最大值为（　　）

  A． 9 π 2

  B．9π

  C． 32 π 3

  D．12π
  组卷：239引用：4难度：0.7

  解析

• 4．若函数f（x）=x²sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图像关于原点对称，则φ=（　　）

  A． π 4

  B． π 2

  C．π

  D． 3 π 2
  组卷：132引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知两个单位向量

  a

  ，

  b

  的夹角为60°，设

  c

  =x

  a

  +y

  b

  （其中x,y∈R），若|

  c

  |=3，则xy的最大值（　　）

  A．2

  B． 3

  C．3

  D． 2 3
  组卷：14引用：2难度：0.7

  解析

• 6．曲线

  y

  =

  2

  x

  -

  lnx

  在x=1处的切线的倾斜角为α，则

  cos

  （

  2

  α

  -

  π

  2

  ）

  的值为（　　）

  A． 4 5

  B． - 4 5

  C． 3 5

  D． - 3 5
  组卷：76引用：2难度：0.6

  解析

• 7．已知点P是抛物线x²=2y上的一点，在点P处的切线恰好过点

  （

  0

  ，-

  1

  2

  ）

  ，则点P到抛物线焦点的距离为（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  组卷：51引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知圆

  C

  1

  ：

  （

  x

  +

  5

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  36

  ，点C（5，0），点M是圆C₁上的动点，MC的垂直平分线交直线MC₁于点P．
  （1）求点P的轨迹方程C₂；
  （2）过点N（4，0）的直线l交曲线C₂于A，B两点，在x轴上是否存在点G，使得直线AG和BG的倾斜角互补，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
  组卷：138引用：1难度：0.1

  解析

• 22．设函数f（x）=lnx-a（x-1）e^x，其中a∈R．
  （1）若a=-3，求f（x）的单调区间；
  （2）若

  0

  ＜

  a

  ＜

  1

  e

  ．
  （ⅰ）证明：f（x）恰有一个极值点；
  （ⅱ）设x₀为f（x）的极值点，若x₁为f（x）的零点，且x₁＞x₀，证明：3x₀-x₁＞2．
  组卷：95引用：4难度：0.6

  解析