2021-2022学年上海市嘉定二中高一（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为

  ．
  组卷：51引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知sinx=

  2

  3

  ，x∈（

  π

  2

  ，π），则角x=

  （用反三角函数符号表示）．
  组卷：173引用：5难度：0.7

  解析

• 3．已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是

  ．
  组卷：2001引用：10难度：0.9

  解析

• 4．复数的三角形式

  cos

  2

  π

  5

  +

  isin

  2

  π

  5

  （用辐角主值表示）为

  ．
  组卷：146引用：1难度：0.8

  解析

• 5．已知

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  2

  ）

  ，则

  b

  在

  a

  方向上的投影为

  ．
  组卷：99引用：1难度：0.8

  解析

• 6．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是

  ．
  
  组卷：40引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知方程x²+tx+1=0（t∈R）的两个虚根是x₁，x₂，若

  |

  x

  1

  -

  x

  2

  |

  =

  2

  ，则t=

  ．
  组卷：303引用：1难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．已知向量

  a

  =

  （

  cos

  3

  2

  x

  ,

  sin

  3

  2

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  sin

  x

  2

  ，-

  cos

  x

  2

  ）

  （x≠kπ，k∈Z），令f（x）=

  （

  λ

  a

  +

  b

  ）

  2

  a

  •

  b

  （λ∈R）．
  （1）化简

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  λ

  a

  +

  b

  ）

  2

  a

  •

  b

  ，并求当λ=1时方程f（x）=-2的解集；
  （2）已知集合P={h（x）|h（x）+h（-x）=2，D是函数h（x）与h（-x）定义域的交集且D不是空集}，判断元素f（x）与集合P的关系，说明理由．
  组卷：146引用：2难度：0.6

  解析

• 21．如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．
  （1）证明：P-ABC为正四面体；
  （2）若

  PD

  =

  1

  2

  PA

  ，求二面角D-BC-A的大小（结果用反三角函数值表示）；
  （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P-ABC的体积减去棱锥P-DEF的体积）．
  组卷：126引用：4难度：0.4

  解析