2023-2024学年甘肃省张掖市高台一中高二（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知点P（1，2）在双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5 2

  D． 5
  组卷：141引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知直线l₁：x+2ay-1=0与直线l₂：（3a-1）x-ay-1=0平行，则a=（　　）

  A．0

  B．0或 - 1 6

  C． 1 6

  D．0或 1 6
  组卷：49引用：3难度：0.7

  解析

• 3．著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上．设地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，则C的离心率为（　　）

  A． λ 2 - 1 λ 2 + 1

  B． λ - 1 λ + 1

  C． λ - 1 λ + 1

  D． λ - 1 λ + 1
  组卷：364引用：4难度：0.7

  解析

• 4．设O为坐标原点，A，B是抛物线C：x²=2py（p＞0）与圆E：x²+（y-8）²=r²（r＞0）关于y轴对称的两个交点，若|AB|=|OA|=r,则p=（　　）

  A．4

  B．2

  C． 4 3

  D． 2 3
  组卷：58引用：1难度：0.6

  解析

• 5．抛物线y²=-4x上有一点P，P到椭圆

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  15

  =

  1

  的左顶点的距离的最小值为（　　）

  A． 2 3

  B．2+ 3

  C． 3

  D． 2 - 3
  组卷：48引用：8难度：0.9

  解析

• 6．已知抛物线x²=2py（p＞0）的顶点为O，焦点为F，准线为直线l,点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，

  4

  |

  OF

  |

  =

  3

  |

  FQ

  |

  ，则直线FE的倾斜角为（　　）

  A．120°

  B．150°

  C．30°或150°

  D．60°或120°
  组卷：66引用：1难度：0.5

  解析

• 7．已知A，B是双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0）．若双曲线的离心率为2，则

  |

  k

  1

  |

  2

  +

  |

  k

  2

  |

  的最小值为（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 2

  D． 6
  组卷：203引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为

  5

  5

  ．
  （Ⅰ）求椭圆的方程；
  （Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|=|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
  组卷：7940引用：17难度：0.5

  解析

• 22．如图，椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率是

  1

  2

  ，短轴长为2

  3

  ，椭圆的左、右顶点为A₁、A₂.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
  （1）求椭圆C和抛物线E的方程；
  （2）记△ABA₁的面积为S₁，△MA₂Q的面积为S₂，若S₁≥3S₂，求直线l在y轴上截距的范围．
  组卷：92引用：7难度：0.4

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