2022-2023学年山东省青岛五十八中高一（下）月考数学试卷（6月份）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的．

• 1．已知圆锥的底面半径为

  2

  ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）

  A．2

  B．2 2

  C．4

  D．4 2
  组卷：7064引用：45难度：0.8

  解析

• 2．已知O为坐标原点，复数z₁=1+i,z₂=2-i,z₃=1+mi（m∈R）分别表示向量

  OA

  ，

  OB

  ，

  OC

  ，若

  AB

  ⊥

  OC

  ，则|z₃|=（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5 2

  D． 7 2
  组卷：87引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，2），

  b

  =（1，1），且

  a

  与

  a

  +λ

  b

  的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为（　　）

  A．（ 5 3 ，+∞）	B．（-∞，- 5 3 ）
  C．（- 5 3 ，0）	D．（- 5 3 ，0）∪（0，+∞）
  组卷：230引用：7难度：0.9

  解析

• 4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km²；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km²．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（

  7

  ≈2.65）（　　）

  A．1.0×109m3

  B．1.2×109m3

  C．1.4×109m3

  D．1.6×109m3
  组卷：4290引用：20难度：0.7

  解析

• 5．在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A（2

  2

  ，0），B（2

  2

  ，2），C（0，6）．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形O'A'B'C'的周长为（　　）

  A．8

  B．10

  C． 5 + 2 2

  D． 6 + 2 2
  组卷：145引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则

  AP

  •

  AB

  的取值范围是（　　）

  A．（-2，6）

  B．（-6，2）

  C．（-2，4）

  D．（-4，6）
  组卷：7491引用：40难度：0.5

  解析

• 7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在三棱锥C₁-BCD的侧面C₁CB表面上运动，且

  A

  1

  P

  =

  15

  3

  ，则点P轨迹的长度是（　　）

  A． 3 6 π

  B． 6 9 π

  C． 6 3 π

  D． 3 3 π
  组卷：123引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为4，△A₁BC的面积为

  2

  2

  ．
  （1）求A到平面A₁BC的距离；
  （2）设D为A₁C的中点，AA₁=AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-BD-C的正弦值．
  组卷：12977引用：31难度：0.5

  解析

• 22．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．
  在△ABC中，试解决以下问题：
  （1）G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交AB，AC于点M，N．
  （ⅰ）记

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，请用

  a

  ，

  b

  表示

  AG

  ；
  （ⅱ）

  AM

  =m

  AB

  ，

  AN

  =n

  AC

  ，求4m+n的最小值．
  （2）已知点O是△ABC的____，且

  AO

  =

  1

  4

  AB

  +

  1

  3

  AC

  ，求cos∠BAC．
  请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．
  ①外心（三条垂直平分线的交点）；
  ②垂心（三条高的交点）．
  组卷：395引用：5难度：0.3

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